Formül

Olasılık Formülü

Olasılık, bir olayın meydana gelme olasılığını 0 (imkânsız) ile 1 (kesin) arasında bir ölçekte ölçer.

Temel formül basittir:

P(olay) = uygun sonuçlar / toplam sonuçlar

Bazı örnekler:

- Yazı-tura (yazı): 1 uygun sonuç / 2 toplam sonuç = 1/2 = 0,5 = %50

- Zarda 6 gelme: 1 uygun / 6 toplam = 1/6 ≈ %16,7

- Desteden bir as çekme: 4 as / 52 kart = 4/52 = 1/13 ≈ %7,7

Anahtarı saymanın: şey kaç şekilde meydana gelebilir, toplam kaç olasılıktan?

Uygulama Problemi

Klasik bir problemle pratik yapalım.

Bir torbada 3 kırmızı bilye ve 5 mavi bilye vardır. İçine bakılmadan bir bilye çekersiniz.

VE ve VEYA

Olasılıkları Birleştirmek

Bazen birden fazla şeyin meydana gelme olasılığını bilmek isteriz.

İki ana kural vardır:

VE (her iki olay meydana gelir): Olasılıkları çarp

- Bu, olaylar bağımsız olduğunda işe yarar — biri diğerini etkilemez.

- Örnek: P(yazı VE yazı) = 1/2 × 1/2 = 1/4

VEYA (iki olaydan biri meydana gelir): Olasılıkları topla

- Bu, olaylar karşılıklı olarak dışlayıcı olduğunda işe yarar — aynı anda her ikisi de meydana gelemez.

- Örnek: P(1 VEYA 2 atmak) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Bunu şöyle düşün: VE, şeyleri daha az olası kılar (her ikisinin olması gerekir). VEYA, şeyleri daha fazla olası kılar (sadece birinin olması gerekir).

Uygulama Problemi

İşte bir bileşik olasılık problemi.

Adil bir parayı atıp aynı anda adil altı yüzlü bir zarı atarsınız.

Rulet Çarkının Hafızası Yok

Kumarbaz Yanılgısı

1913'te Monte Carlo Kumarhanesinde, rulet topu arka arkaya 26 kez siyaha indi. Kumarbazlar 'hazır' olduğuna inandıkları kırmızıya bahis tutmak için acele ettiler. Milyonlar kaybettiler.

Bu hata o kadar yaygındır ki bir adı vardır: Kumarbaz Yanılgısı.

Yanılgı, geçmiş sonuçların gelecekteki bağımsız olayları etkilediğine inanmaktır. Ancak rulet çarkının hafızası yok. Paranın hafızası yok. Zarın hafızası yok.

Her çevrim, atış veya atış, her zaman aynı olasılıklarla yeni bir başlangıçtır.

Beynimiz neden bu hatayı yapıyor? Çünkü insanlar örüntü arayıcılarıdır. Örüntüleri bulmak için evrimleştik — ancak bazen hiçbir yerde olmayan örüntüleri buluruz.

Anlayışını Test Et

Düşünmek için işte bir senaryo.

Bir rulet çarkını izliyorsunuz. Yeşil 0 ve 00'ı göz ardı ederek, herhangi bir çevrimde kırmızı gelme olasılığı %50'dir. Çark az önce arka arkaya 8 kez siyaha indi.

Ev Neden Her Zaman Kazanır

Beklenen Değer

Beklenen değer (BV), bir şeyi pek çok kez tekrarlasanız elde edeceğiniz ortalama sonuçtur.

Formül şudur:

B(D) = (ödül × kazanma olasılığı) - maliyet

Beklenen değer pozitif ise, bahis zaman içinde sizin lehinizdedir.

Beklenen değer negatif ise, bahis zaman içinde ev lehinizdedir.

Kumarhaneler neden kârlıdır. Sundukları her oyunun oyuncu için negatif bir beklenen değeri vardır. Bir kişi büyük kazanabilir, ancak binlerce bahiste, matematik her zaman ev lehinizdedir.

Piyango Problemi

Bir piyango biletinin beklenen değerini hesaplayalım.

- Bir bilet 2 dolar maliyeti

- Kazanma şansı 1000'de 1

- Ödül 500 dolar

Günlük Hayatta Olasılık

Olasılık Her Yerdedir

Olasılık sadece kumarhaneler ve kart oyunları için değildir. Her gün gerçek dünyada kararları şekillendirir.

Hava tahminleri: Tahmin '%70 yağmur şansı' dediğinde, 100 benzer hava durumunda yaklaşık 70 kez yağmur yağdığını ifade eder. Bu, alanın %70'inde yağmur yağacağı veya günün %70'i boyunca yağmur yağacağı anlamına gelmez.

Spor analitikleri: Takımlar dördüncü aşamada ne zaman gitmeleri gerektiğini, kaleden ne zaman çekmeleri gerektiğini veya ne zaman vurmak gerektiğini kararlaştırmak için olasılığı kullanırlar. Moneyball, olasılığın bir devrimiydi.

Tıbbi testler: Burası, olasılığın gerçekten sezgiye aykırı hale geldiği ve yanlış anlaşılması gerçek zararabileceği yerdir.

Tıbbi Test Problemi

Yanlış Pozitif Bulmacası

Bu, olasılıktaki en ünlü problemlerden biridir. Dikkatlice okuyun.

- Bir hastalık popülasyonda 1000'de 1 kişiyi etkiler.

- Hastalık için bir test %99 doğru — yani hasta insanları %99 oranında doğru olarak tanımlar ve sağlıklı insanları %99 oranında doğru olarak tanımlar.

- Testi alırsın ve pozitif sonuç alırsın.

Çoğu insan — birçok doktor dahil — bunu yanlış alırlar.

Öğrendikleriniz

Bitirme

Bu derste çok şey öğrendin:

- Temel olasılık: P(olay) = uygun / toplam

- Bileşik olaylar: VE çarpmak anlamına gelir, VEYA toplamak anlamına gelir

- Kumarbaz Yanılgısı: geçmiş sonuçlar bağımsız gelecek olayları etkilemez

- Beklenen değer: bir bahsin uzun vadeli ortalama sonucu

- Taban oranları ve yanlış pozitifler: pozitif bir test neden her zaman hasta olduğunuz anlamına gelmez

Olasılık, matematiğin en pratik dallarından biridir. Sizi şanslı yapmayacak — ama daha iyi kararlar vermenize yardımcı olacak.