公式

概率公式

概率衡量事件发生的可能性，从0（不可能）到1（必然）范围内。

基本公式很简单：

P(event) = 有利结果 / 总结果

一些例子：

- 硬币翻转（头）：1个有利结果 / 2个总结果 = 1/2 = 0.5 = 50%

- 掷骰子，得到6：1个有利 / 6个总 = 1/6 ≈ 16.7%

- 从一堆牌中抽到一个ACE：4个ACE / 52张牌 = 4/52 = 1/13 ≈ 7.7%

关键在于计数：事情发生的方式有多少，总可能性的多少？

练习题

讓我們練習一個經典的問題。

一個袋子裡有 3 個紅球 & 5 個藍球。你伸手去抓一個球，而不看。

AND 和 OR

結合機率

有時候我們想要知道兩個或多個事情同時發生的機率。

有兩個主要的規則：

AND (兩個事件都發生)：乘法求和

- 這個規則適用於獨立事件：一個事件不會影響另一個事件。

- 示例：P(heads AND heads) = 1/2 × 1/2 = 1/4

OR (任一事件發生)：加法求和

- 這個規則適用於相互獨立事件：他們不能同時發生。

- 示例：P(擲一個 1 或一個 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

你可以這樣想：AND 讓事情變得更不可能（需要兩個事件都發生）。OR 讓事情變得更可能（只需要一個事件發生）。

練習問題

這裡有個複合機率問題。

你同時翻一個公平的硬幣和擲一個公平的六面骰子。

輪盤沒有記憶

賭徒誤解

1913年，蒙特卡洛赌场的轮盘球连续落在黑色26次。赌徒们相信它‘应该’出现红色，急忙押红色，结果输掉了数百万。

这种错误如此常见，甚至有个名字：赌徒谬误。

谬误是认为过去的结果会影响未来的独立事件。但轮盘球没有记忆。硬币没有记忆。骰子也没有记忆。

每次旋转、翻转或滚动都是一个新的开始，概率与过去相同。

我们的大脑为什么会犯这个错误？因为人类是模式寻找者。我们进化出找出模式的能力：但有时候我们会在没有模式的地方发现模式。

测试你的理解

这里有一种场景供你思考。

你正在观察一个轮盘球。忽略绿色的0和00，单次旋转红色的概率为50%。轮盘球刚刚连续落在黑色8次。

为什么房子总是赢

期望值

期望值（EV）是你重复做某事很多很多次后，平均得到的结果。

公式是：

E(V) = (奖金×获胜的概率) - (成本)

如果期望值是正值，投注会在长期内有利于你。

如果期望值是负值，投注会在长期内有利于房子。

这就是为什么赌场盈利的原因。他们提供的每个游戏对玩家来说都有负期望值。一个人可能会赢得大奖，但在数千次投注中，数学总是倾向于房子。

彩票问题

計算彩票的期望值吧。

- 一张彩票的价格为 $2

- 中奖的可能性为 1 在 1,000

- 奖金为 $500

概率在日常生活中

概率无处不在

概率不仅仅是用于赌场和扑克游戏。它在每天的现实生活中塑造决策。

天气预报: 当预报说'70%的可能性下雨'时，它意味着在100个类似的天气情况下，大约下雨70次。这并不意味着70%的地区会下雨，或者下雨的时间为70%。

体育分析: 球队使用概率来决定何时尝试第四下进攻，何时换上守门员，或者何时滚球。《钱球》是一场概率革命。

医疗检测: 这是概率最让人误解的地方：在这里，误解可能会造成真正的伤害。

医疗检测问题

假阳性谜题

这是概率中最著名的一个问题。请仔细阅读。

- 一种疾病会影响 每1000人中的1人 在人口中。

- 用于检测疾病的测试是 99%准确：这意味着它在99%的时间内正确识别患病的人，也在99%的时间内正确识别健康的人。

- 你进行了检测并得到了一个 阳性结果。

大多数人，包括许多医生，都会对这个问题产生误解。

你學到的東西

結束

你在這堂課中已經學到了很多:

- 基本概率：P(event) = 事件有利/總數

- 複合事件：AND表示乘法，OR表示加法

- 賭徒誤解：過去的結果不會影響未來獨立事件

- 期望值：投注的長期平均結果

- 基數與誤陽性：為什麼一個陽性檢查不總是意味著你生病了

概率是最實用的數學分支之一。它將不會讓你變得幸運，但它將幫助你做出更好的決策。