公式

概率公式

概率衡量事件发生的可能性，范围从0（不可能）到1（必然）。

基本公式很简单：

P(事件) = 有利结果 / 总结果

一些例子：

- 抛硬币（正面）： 1个有利结果 / 2个总结果 = 1/2 = 0.5 = 50%

- 骰子滚到6： 1个有利结果 / 6个总结果 = 1/6 ≈ 16.7%

- 从牌堆中抽出一张A： 4张A / 52张牌 = 4/52 = 1/13 ≈ 7.7%

关键是计数：该事件可能发生多少种方式，在多少个总可能性中？

练习题

让我们用一个经典问题来练习。

一个袋子里有3个红色弹珠和5个蓝色弹珠。你伸进去拉出一个弹珠，不看。

AND和OR

合并概率

有时我们想知道多个事件同时发生的概率。

有两条主要规则：

AND（两个事件都发生）： 乘以概率

- 这在事件独立时有效——一个不影响另一个。

- 例子：P(正面 AND 正面) = 1/2 × 1/2 = 1/4

OR（任一事件发生）： 加上概率

- 这在事件互斥时有效——它们不能同时发生。

- 例子：P(掷出1 OR 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

这样想：AND使事情更不可能（你需要两个都发生）。OR使事情更可能（你只需要一个）。

练习题

这是一个复合概率问题。

你抛一枚公平硬币并同时掷一个公平的六面骰子。

轮盘赌没有记忆

赌徒谬误

1913年在蒙特卡洛赌场，轮盘球连续落在黑色26次。赌徒们冲上去赌红色，确信它是'应该来的'。他们损失了数百万。

这个错误是如此普遍，它有一个名字：赌徒谬误。

谬误是相信过去的结果影响未来的独立事件。但轮盘赌没有记忆。硬币没有记忆。骰子没有记忆。

每个旋转、抛掷或掷骰子都是一个全新的开始，具有与往常相同的概率。

为什么我们的大脑犯这个错误？因为人类是寻找模式的。我们进化成找模式——但有时我们找到根本不存在的模式。

测试你的理解

这是一个需要思考的场景。

你在看轮盘赌。忽略绿色的0和00，任何单个旋转中红色的概率是50%。轮盘刚好连续落在黑色8次。

为什么庄家总是赢的

期望值

期望值(EV)是如果你重复许多、许多次会得到的平均结果。

公式是：

E(V) = (奖金 × 获胜概率) - 成本

如果期望值是正数，该赌注随着时间对你有利。

如果期望值是负数，该赌注随着时间对庄家有利。

这就是赌场为什么有利可图。他们提供的每个游戏对玩家的期望值都是负数。一个人可能赢大了，但在数千个赌注中，数学总是倾向于庄家。

彩票问题

让我们计算彩票票的期望值。

- 一张票成本$2

- 获胜的几率是1000分之1

- 奖金是$500

日常生活中的概率

概率无处不在

概率不仅仅是赌场和纸牌游戏。它每天都在塑造现实世界的决定。

天气预报： 当预报说'70%降雨概率'时，这意味着在100个类似的天气情况中，约有70次下雨。它不是指70%的地区会下雨，也不是指一整天有70%的时间会下雨。

体育分析： 团队使用概率来决定何时在第四档前进、何时拉下守门员或何时短打。Moneyball是一个概率革命。

医学测试： 这是概率变得真正违反直觉的地方——误解它会造成真正的伤害。

医学测试问题

假阳性困境

这是概率中最著名的问题之一。仔细阅读。

- 一种疾病影响人口中1000分之1的人。

- 针对该疾病的测试是99%准确的——这意味着它正确识别患病者99%的时间，正确识别健康者99%的时间。

- 你做了测试并获得阳性结果。

大多数人——包括许多医生——对这个问题的理解都是错的。

你学到的东西

总结

在这节课中你已经涵盖了很多内容：

- 基本概率： P(事件) = 有利 / 总

- 复合事件： AND意味着乘，OR意味着加

- 赌徒谬误： 过去的结果不影响独立的未来事件

- 期望值： 赌注的长期平均结果

- 基率和假阳性： 为什么阳性测试并不总是意味着你患病

概率是数学中最实用的分支之一。它不会让你幸运——但它会帮助你做出更好的决定。