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Aujourd'hui, nous allons explorer l'une des idées les plus anciennes et les plus puissantes de toutes les mathématiques.
Il s'appelle le théorème de Pythagore et il a été utilisé depuis plus de 2 500 ans : par des constructeurs antiques, des marins, des ingénieurs et même le GPS de votre téléphone.
Le théorème est nommé d'après Pythagore, un mathématicien grec qui a vécu autour de 570-495 av. J.-C. Il a dirigé une communauté de savants qui croyaient que les nombres étaient le secret du univers.
Mais voici l'essentiel : les Babyloniens connaissaient cette relation au moins 1 000 ans avant la naissance de Pythagore. Une tablette en argile appelée Plimpton 322, datant d'environ 1800 av. J.-C., contient des triples pythagoriciennes : preuve que les Mésopotamiens anciens comprenaient le modèle bien avant les Grecs.
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure d'utiliser ce théorème pour trouver des distances manquantes, vérifier des angles droits et voir la géométrie partout dans la vie de tous les jours.
Réchauffement
Un problème d'envergure
Imaginez que vous êtes sur un bord d'un lac. Vous voyez un arbre de l'autre côté de l'eau, directement à l'autre bout. Vous avez une règle à ruban, mais vous ne voulez vraiment pas nager.
Qu'est-ce qu'un triangle rectangle ?
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle mesurant exactement 90 degrés : un angle carré parfait.
Vous voyez des angles droits partout : l'angle d'un livre, le bord d'un chambranle de porte, l'intersection d'un mur et un plancher.
Les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les jambes.
Le côté en face de l'angle droit, le côté le plus long, est appelé l'hypoténuse.
Voici l'idée clé, découverte des milliers d'années auparavant :
a² + b² = c²
où a et b sont les jambes, et c est l'hypoténuse.
En termes simples : si vous tracez un carré sur chaque côté d'un triangle rectangle, la surface des deux petits carrés fait exactement la surface du plus grand carré.
Preuve visuelle
Le triangle rectangle vu sous l'angle des carrés
Imaginez un triangle rectangle avec des jambes de longueur 3 et 4.
Imaginez maintenant de dessiner un carré sur chaque côté :
- Le carré sur la jambe de longueur 3 a une superficie de 3² = 9
- Le carré sur la jambe de longueur 4 a une superficie de 4² = 16
- Le carré sur l'hypoténuse a une superficie de 9 + 16 = 25
Et quelle est la racine carrée de 25 ? C'est 5.
Donc, l'hypoténuse mesure 5 unités de longueur. C'est le triangle rectangle le plus célèbre de tous les domaines de la géométrie.
Problème de l'échelle
Trouver les côtés manquants
Le théorème de Pythagore n'est pas seulement utilisé pour trouver l'hypoténuse. Vous pouvez le réarranger pour trouver tout côté manquant.
Pour trouver une jambe : a² = c² - b²
Essayons avec un classique.
Une échelle mesure 10 pieds de long et repose contre un mur. La base de l'échelle est à 6 pieds du mur.
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse (c'est la plus longue, inclinée, entre l'angle droit entre le mur et le sol).
La distance au sol (6 pieds) est une jambe. La hauteur sur le mur est l'autre jambe : et c'est ce que nous devons trouver.
Triples célèbres
Les triples de Pythagore
Une triple de Pythagore est un ensemble de trois nombres entiers qui satisfait à l'équation a² + b² = c².
Voici les plus courantes :
- 3, 4, 5 : la classique (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13 : (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17 : (64 + 225 = 289)
La règle du constructeur 3-4-5
Les charpentiers et les travailleurs du bâtiment utilisent la règle 3-4-5 tous les jours pour obtenir des angles droits parfaits.
Voici comment ça marche : lorsque vous avez besoin d'un coin carré, pour une fondation, un ponton ou une clôture, mesurez 3 pieds le long d'une des faces et 4 pieds le long de l'autre. Si la diagonale entre ces deux points est exactement de 5 pieds, votre coin est un angle droit de 90 degrés.
Cette astuce a été utilisée depuis les Égyptiens anciens qui construisaient les pyramides. Ils appelaient les personnes qui faisaient cela les tendeurs de corde : ils utilisaient des cordes à nœuds mesurées en unités de 3, 4 et 5.
Des triangles aux coordonnées
Relier la géométrie des coordonnées
Le théorème de Pythagore ne vit pas seulement en classe de géométrie : il est à l'origine de la formule de distance utilisée sur un plan de coordonnées.
Voici le lien : pour trouver la distance entre deux points, vous pouvez tracer un triangle rectangle où la distance est l'hypoténuse.
Disons que vous avez deux points : (x₁, y₁) et (x₂, y₂).
- La distance horizontale entre eux est (x₂ - x₁) : c'est une jambe.
- La distance verticale entre eux est (y₂ - y₁) : c'est l'autre jambe.
- La distance droite est l'hypoténuse.
Appliquez le théorème de Pythagore :
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
C'est tout. La formule de distance est simplement le théorème de Pythagore déguisé en géométrie des coordonnées.
Le théorème de Pythagore dans la nature
Le théorème partout
Le théorème de Pythagore est l'une des idées les plus utiles en matière de pratique dans toute la mathématique. Voici où il se manifeste dans la vie réelle :
Navigation & GPS : Votre téléphone calcule les distances entre des coordonnées à l'aide de la formule de distance, qui est le théorème de Pythagore. À petite échelle, la latitude et la longitude forment un réseau, et les distances droites sont les hypoténuses.
Architecture & Construction : Chaque angle droit dans chaque bâtiment a été vérifié à l'aide de ce théorème. L'astuce du fil à élastiquer 3-4-5 est toujours utilisée sur les chantiers aujourd'hui.
Tailles d'écran : Lorsqu'un téléviseur ou un téléphone est annoncé comme ayant une taille d'écran de 55 pouces ou 6,1 pouces, ce nombre est la mesure diagonale. La diagonale d'un rectangle est l'hypoténuse du triangle droit formé par sa largeur et sa hauteur.
Sports : À combien de pouces un joueur de baseball se déplace-t-il de l'origine au deuxième but ? Les buts forment un carré, et le lancer est la diagonale, un problème de Pythagore.