Chào mừng
Hôm nay chúng ta sẽ khám phá một trong những ý tưởng cổ xưa nhất và mạnh mẽ nhất trong toàn bộ toán học.
Nó được gọi là Định lý Pythagore, và nó đã được sử dụng trong hơn 2.500 năm — bởi các thợ xây cổ đại, thủy thủ, kỹ sư, và thậm chí cả GPS của điện thoại bạn.
Định lý được đặt theo tên Pythagoras, một nhà toán học Hy Lạp sống khoảng 570–495 TCN. Ông dẫn dắt một cộng đồng những nhà học giả tin rằng các con số là ngôn ngữ bí mật của vũ trụ.
Nhưng đây là điều thú vị: những người Babylon đã biết mối quan hệ này ít nhất 1.000 năm trước khi Pythagoras sinh ra. Một bảng đất sét gọi là Plimpton 322, có niên đại khoảng năm 1800 TCN, chứa các bộ ba Pythagore — bằng chứng rằng những người Mesopotamia cổ đại đã hiểu được mẫu này lâu trước người Hy Lạp.
Vào cuối bài học này, bạn sẽ có thể sử dụng định lý này để tìm những khoảng cách còn thiếu, kiểm tra các góc vuông, và nhìn thấy hình học ẩn giấu trong cuộc sống hàng ngày.
Khởi động
Một bài toán đáng giải quyết
Hãy tưởng tượng bạn đang đứng ở một bên của một cái hồ. Bạn có thể thấy một cái cây ở phía bên kia, trực tiếp đối diện qua nước. Bạn có một thước dây, nhưng chắc chắn bạn không muốn bơi.
Điều gì tạo nên một tam giác vuông?
Tam giác vuông
Một tam giác vuông là một tam giác có một góc bằng đúng 90 độ — một góc vuông hoàn hảo.
Bạn thấy các góc vuông ở khắp mọi nơi: góc của một quyển sách, cạnh của khung cửa, giao điểm của bức tường và sàn nhà.
Hai cạnh tạo thành góc vuông được gọi là các cạnh góc vuông.
Cạnh đối diện với góc vuông — cạnh dài nhất — được gọi là cạnh huyền.
Đây là ý tưởng lớn, được khám phá hàng ngàn năm trước:
a² + b² = c²
trong đó a và b là các cạnh góc vuông, và c là cạnh huyền.
Nói cách khác: nếu bạn vẽ một hình vuông trên mỗi cạnh của một tam giác vuông, diện tích của hai hình vuông nhỏ hơn cộng lại chính xác bằng diện tích của hình vuông lớn nhất.
Chứng minh hình ảnh
Nhìn thấy nó với các hình vuông
Hãy tưởng tượng một tam giác vuông có các cạnh góc vuông dài 3 và 4.
Bây giờ hãy tưởng tượng vẽ một hình vuông trên mỗi cạnh:
- Hình vuông trên cạnh góc vuông dài 3 có diện tích 3² = 9
- Hình vuông trên cạnh góc vuông dài 4 có diện tích 4² = 16
- Hình vuông trên cạnh huyền có diện tích 9 + 16 = 25
Và căn bậc hai của 25 là gì? Nó là 5.
Vậy cạnh huyền dài 5 đơn vị. Đó là tam giác vuông 3-4-5 — nổi tiếng nhất trong toàn bộ hình học.
Bài toán thang
Tìm các cạnh còn thiếu
Định lý Pythagore không chỉ dùng để tìm cạnh huyền. Bạn có thể sắp xếp lại nó để tìm bất kỳ cạnh nào còn thiếu.
Để tìm một cạnh góc vuông: a² = c² - b²
Hãy thử một bài toán cổ điển.
Một chiếc thang dài 10 feet dựa vào một bức tường. Phần dưới của chiếc thang cách tường 6 feet.
Bức tường, mặt đất, và thang tạo thành một tam giác vuông. Chiếc thang là cạnh huyền (nó là cạnh dài nhất, nghiêng qua từ góc vuông giữa tường và mặt đất).
Khoảng cách trên mặt đất (6 feet) là một cạnh góc vuông. Chiều cao lên tường là cạnh góc vuông kia — và đó là điều chúng ta cần tìm.
Những bộ ba nổi tiếng
Bộ ba Pythagore
Một bộ ba Pythagore là một tập hợp ba số nguyên thỏa mãn a² + b² = c².
Dưới đây là những bộ ba nổi tiếng nhất:
- 3, 4, 5 — bộ ba cổ điển (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13 — (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17 — (64 + 225 = 289)
Quy tắc 3-4-5 của người xây dựng
Những thợ mộc và công nhân xây dựng sử dụng bộ ba 3-4-5 mỗi ngày để tạo ra những góc vuông hoàn hảo.
Đây là cách nó hoạt động: khi bạn cần một góc vuông — cho một nền móng, một sàn gỗ, hoặc một hàng rào — hãy đo 3 feet dọc theo một cạnh và 4 feet dọc theo cạnh kia. Nếu đường chéo giữa hai điểm đó chính xác 5 feet, góc của bạn là một góc vuông hoàn hảo 90 độ.
Thủ thuật này đã được sử dụng kể từ khi những người Ai Cập cổ đại xây dựng các kim tự tháp. Họ gọi những người làm công việc này là những người giãn dây — họ sử dụng những sợi dây có gút được đo bằng các đơn vị 3, 4, và 5.
Từ tam giác đến tọa độ
Kết nối với hình học tọa độ
Định lý Pythagore không chỉ sống trong lớp hình học — nó là động lực đằng sau công thức khoảng cách mà bạn sử dụng trên một mặt phẳng tọa độ.
Đây là kết nối: nếu bạn muốn tìm khoảng cách giữa hai điểm, bạn có thể vẽ một tam giác vuông nơi khoảng cách là cạnh huyền.
Giả sử bạn có hai điểm: (x₁, y₁) và (x₂, y₂).
- Khoảng cách ngang giữa chúng là (x₂ - x₁) — đó là một cạnh góc vuông.
- Khoảng cách thẳng đứng giữa chúng là (y₂ - y₁) — đó là cạnh góc vuông khác.
- Khoảng cách theo đường thẳng là cạnh huyền.
Áp dụng Định lý Pythagore:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Đó là nó. Công thức khoảng cách chỉ là Định lý Pythagore mặc một bộ quần áo hình học tọa độ.
Định lý Pythagore trong thực tế
Định lý ở khắp mọi nơi
Định lý Pythagore là một trong những ý tưởng thực tế hữu ích nhất trong toàn bộ toán học. Đây là nơi nó xuất hiện trong cuộc sống thực:
Điều hướng và GPS — Điện thoại của bạn tính khoảng cách giữa các tọa độ bằng cách sử dụng công thức khoảng cách, đó là Định lý Pythagore. Ở quy mô nhỏ, vĩ độ và kinh độ tạo thành một lưới, và khoảng cách theo đường thẳng là các cạnh huyền.
Kiến trúc và xây dựng — Mọi góc vuông trong mỗi tòa nhà được kiểm tra bằng định lý này. Thủ thuật kéo dây 3-4-5 vẫn được sử dụng trên các công trường xây dựng ngày nay.
Kích thước màn hình — Khi một TV hoặc điện thoại được quảng cáo có màn hình 55 inch hoặc màn hình 6.1 inch, con số đó là phép đo đường chéo. Đường chéo của một hình chữ nhật là cạnh huyền của tam giác vuông được tạo thành bởi chiều rộng và chiều cao của nó.
Thể thao — Quả bóng chày bay bao xa từ bàn nhà đến cơ sở thứ hai? Các cơ sở tạo thành một hình vuông, và lần ném là đường chéo — một bài toán Pythagore.