Powitanie
Dzisiaj badać będziemy jedną z najstarszych i najpotężniejszych idei w całej matematyce.
Nazywa się Twierdzenie Pitagorasa, i było używane przez ponad 2500 lat — przez starożytnych budowniczych, żeglarzy, inżynierów, i nawet GPS twojego telefonu.
Twierdzenie nosi imię Pitagorasa, greckiego matematyka, który żył około 570–495 p.n.e. Prowadził społeczność uczonych, którzy wierzyli, że liczby były tajnym językiem wszechświata.
Ale oto jest rzecz: Babilończycy znali tę zależność co najmniej 1000 lat przed narodzeniem się Pitagorasa. Gliniany tablet zwany Plimpton 322, pochodzący z około 1800 p.n.e., zawiera trójki pitagorejskie — dowód, że starożytni Mesopotamijczycy rozumieli ten wzór długo przed Grekami.
Pod koniec tej lekcji będziesz w stanie użyć tego twierdzenia do znalezienia brakujących odległości, sprawdzenia kątów prostych i dostrzegania geometrii ukrytej w codziennym życiu.
Rozgrzewka
Problem wart rozwiązania
Wyobraź sobie, że stoisz po jednej stronie jeziora. Widzisz drzewo po drugiej stronie, dokładnie poza wodą. Masz taśmę mierniczą, ale zdecydowanie nie chcesz pływać.
Co sprawia, że trójkąt jest prostokątny?
Trójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny to trójkąt, który ma jeden kąt mierzący dokładnie 90 stopni — idealny kąt prosty.
Widzisz kąty proste wszędzie: w rogu książki, na krawędzi ramy drzwi, na przecięciu ściany i podłogi.
Dwa boki, które tworzą kąt prosty, są znane jako przyprostokątne.
Bok po przeciwnej stronie kąta prostego — najdłuższy bok — nosi nazwę przeciwprostokątna.
Oto wielka idea, odkryta tysiące lat temu:
a² + b² = c²
gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.
Innymi słowy: jeśli narysujesz kwadrat na każdym boku trójkąta prostokątnego, suma pól dwóch mniejszych kwadratów dokładnie równa się polu największego kwadratu.
Wizualny dowód
Widząc to na kwadratach
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi o długościach 3 i 4.
Teraz wyobraź sobie narysowanie kwadratu na każdym boku:
- Kwadrat na przyprostokątnej o długości 3 ma pole 3² = 9
- Kwadrat na przyprostokątnej o długości 4 ma pole 4² = 16
- Kwadrat na przeciwprostokątnej ma pole 9 + 16 = 25
Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 25? To 5.
Więc przeciwprostokątna ma długość 5 jednostek. To trójkąt prostokątny 3-4-5 — najsławniejszy ze wszystkich w geometrii.
Problem z drabiną
Znajdowanie brakujących boków
Twierdzenie Pitagorasa nie jest używane tylko do znalezienia przeciwprostokątnej. Możesz go przearanżować, aby znaleźć dowolny brakujący bok.
Aby znaleźć przyprostokątną: a² = c² - b²
Spróbujmy klasycznego problemu.
Drabina ma 10 stóp długości i opiera się o ścianę. Podstawa drabiny jest 6 stóp od ściany.
Ściana, ziemia i drabina tworzą trójkąt prostokątny. Drabina to przeciwprostokątna (jest najdłuższym bokiem, ukośnie rozciągającym się od kąta prostego między ścianą a ziemią).
Odległość od ziemi (6 stóp) to jeden bok. Wysokość na ścianie to drugi bok — i to jest to, co musimy znaleźć.
Słynne trójki
Trójki pitagorejskie
Trójka pitagorejska to zbiór trzech liczb całkowitych spełniających a² + b² = c².
Oto najczęstsze z nich:
- 3, 4, 5 — klasyka (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13 — (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17 — (64 + 225 = 289)
Reguła 3-4-5 budowniczych
Cieśle i pracownicy budowlani używają trójki 3-4-5 każdego dnia, aby stworzyć idealne kąty proste.
Oto jak to działa: gdy potrzebujesz kąta kwadratowego — na fundamentach, tarasie lub ogrodzeniu — zmierz 3 stopy wzdłuż jednej strony i 4 stopy wzdłuż drugiej. Jeśli przekątna między tymi dwoma punktami wynosi dokładnie 5 stóp, twój kąt jest idealnym 90 stopni.
Tę sztuczkę używano od starożytnych Egipcjan, którzy budowali piramidy. Nazywali ludzi, którzy to robili naciągaczami lin — używali sznurów z węzłami zmierzonymi w jednostkach 3, 4 i 5.
Od trójkątów do współrzędnych
Połączenie z geometrią współrzędnych
Twierdzenie Pitagorasa nie mieszka tylko w klasie geometrii — to silnik za wzorem na odległość, który używasz na płaszczyźnie współrzędnych.
Oto połączenie: jeśli chcesz znaleźć odległość między dwoma punktami, możesz narysować trójkąt prostokątny, gdzie odległość to przeciwprostokątna.
Powiedzmy, że masz dwa punkty: (x₁, y₁) i (x₂, y₂).
- Odległość pozioma między nimi to (x₂ - x₁) — to jeden bok.
- Odległość pionowa między nimi to (y₂ - y₁) — to drugi bok.
- Odległość w linii prostej to przeciwprostokątna.
Zastosuj Twierdzenie Pitagorasa:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
To wszystko. Wzór na odległość to Twierdzenie Pitagorasa w przebraniu geometrii współrzędnych.
Twierdzenie Pitagorasa na wolności
Twierdzenie jest wszędzie
Twierdzenie Pitagorasa to jedna z najbardziej praktycznie przydatnych idei w całej matematyce. Oto gdzie się pojawia w rzeczywistym życiu:
Nawigacja i GPS — Twój telefon oblicza odległości między współrzędnymi, używając wzoru na odległość, który to Twierdzenie Pitagorasa. Na małych skalach szerokość i długość geograficzna tworzą siatkę, a odległości w linii prostej to przeciwprostokątne.
Architektura i budowa — Każdy kąt prosty w każdym budynku był sprawdzany przy użyciu tego twierdzenia. Sztuczka sznura 3-4-5 jest nadal używana na budowach dzisiaj.
Rozmiary ekranu — Gdy telewizor lub telefon jest reklamowany jako ekran 55-calowy lub wyświetlacz 6.1-calowy, ta liczba to pomiar przekątnej. Przekątna prostokąta to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego utworzonego przez jego szerokość i wysokość.
Sport — Jak daleko leci baseball z home plate na drugą bazę? Bazy tworzą kwadrat, a rzut to przekątna — problem pitagorejski.