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今天我们将探索数学中最古老、最强大的想法之一。
它被称为勾股定理，已被使用超过2500年——由古代建筑工人、水手、工程师，甚至你的手机GPS使用。
这个定理以毕达哥拉斯的名字命名，他是一位古希腊数学家，生活在公元前约570-495年。他领导了一个相信数字是宇宙秘密语言的学者社群。
但是这里有一点：巴比伦人至少比毕达哥拉斯出生早1000年就知道这个关系。一块名为普林普顿322的黏土板，可以追溯到公元前约1800年，包含勾股数——证明古代美索不达米亚人早在希腊人之前就理解了这个模式。
在这堂课的最后，你将能够使用这个定理来找出缺失的距离、检查直角，以及看到隐藏在日常生活中的几何。
热身
一个值得解决的问题
想象你站在湖的一侧。你可以看到另一侧的一棵树，正好在水的对岸。你有一把卷尺，但你绝对不想游泳。
什么构成直角三角形？
直角三角形
直角三角形是一个有一个角正好是90度——完美的直角的三角形。
你到处都能看到直角：书的角落、门框的边、墙和地板的交点。
形成直角的两条边称为直角边。
直角对面的边——最长的边——称为斜边。
这是数千年前发现的重大想法：
a² + b² = c²
其中a和b是直角边，c是斜边。
换句话说：如果你在直角三角形的每一条边上画一个正方形，两个较小正方形的面积之和恰好等于最大正方形的面积。
视觉证明
用正方形看它
想象一个直角边长度为3和4的直角三角形。
现在想象在每一条边上画一个正方形：
- 长度为3的直角边上的正方形有面积3² = 9
- 长度为4的直角边上的正方形有面积4² = 16
- 斜边上的正方形有面积9 + 16 = 25
而25的平方根是多少？它是5。
所以斜边长度为5个单位。这是3-4-5直角三角形——整个几何学中最著名的三角形。
梯子问题
寻找缺失的边
勾股定理不仅仅用来找斜边。你可以重新排列它来找任何缺失的边。
要找一条直角边：a² = c² - b²
让我们试试一个经典问题。
一个梯子长10英尺并靠在墙上。梯子的底部是距离墙6英尺。
墙、地面和梯子形成一个直角三角形。梯子是斜边（它是最长的边，从直角的对面倾斜）。
地面距离（6英尺）是一条直角边。沿着墙向上的高度是另一条直角边——这是我们需要找到的。
著名的勾股数
勾股数
勾股数是一组三个满足a² + b² = c²的整数。
这是最常见的几个：
- 3, 4, 5 ——经典（9 + 16 = 25）
- 5, 12, 13 ——（25 + 144 = 169）
- 8, 15, 17 ——（64 + 225 = 289）
建筑工人的3-4-5规则
木工和建筑工人每天都使用3-4-5勾股数来制造完美的直角。
它是这样工作的：当你需要一个直角时——用于地基、露台或栅栏——在一侧测量3英尺，在另一侧测量4英尺。如果这两点之间的对角线正好是5英尺，你的角是一个完美的90度。
这个技巧从古埃及人建造金字塔时就被使用了。他们称做这个的人为绳子拉伸者——他们使用打结的绳子，以3、4和5的单位测量。
从三角形到坐标
连接到坐标几何
勾股定理不仅仅存在于几何课中——它是你在坐标平面上使用的距离公式的引擎。
这是连接：如果你想找到两点之间的距离，你可以画一个直角三角形，其中距离是斜边。
假设你有两点：(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
- 它们之间的水平距离是(x₂ - x₁)——这是一条直角边。
- 它们之间的竖直距离是(y₂ - y₁)——这是另一条直角边。
- 直线距离是斜边。
应用勾股定理：
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
就是这样。距离公式只是穿着坐标几何伪装的勾股定理。
野外中的勾股定理
定理无处不在
勾股定理是整个数学中最有实际用途的想法之一。这是它在现实生活中出现的地方：
导航和GPS ——你的手机使用距离公式计算坐标之间的距离，距离公式就是勾股定理。在小规模，纬度和经度形成一个网格，直线距离是斜边。
建筑和建筑 ——每座建筑中的每个直角都是使用这个定理检查的。3-4-5绳子拉伸技巧在建筑工地上仍然被使用。
屏幕尺寸 ——当一个电视或手机被宣传为拥有55英寸屏幕或6.1英寸显示屏时，那个数字是对角线测量。矩形的对角线是由其宽度和高度形成的直角三角形的斜边。
体育 ——棒球从本垒板到二垒的距离有多远？基地形成一个正方形，传球是对角线——一个勾股问题。