Hoş Geldiniz
Bugün, matematiğin en eski ve en güçlü fikirlerinden birini keşfedeceğiz.
Buna Pisagor Teoremi denir ve 2.500 yıldan fazla süredir kullanılmaktadır — antik yapıcılar, denizciler, mühendisler ve hatta telefonunuzun GPS'i tarafından.
Teoremi, yaklaşık 570–495 M.Ö. yaşamış olan Yunan matematikçi Pisagor'un adından alır. Sayıların evrenin gizli dili olduğuna inanan bir bilim insanları topluluğuna öncülük etti.
Ama işte şu var: Babililer bu ilişkiyi Pisagor doğmadan en az 1.000 yıl önce biliyorlardı. Plimpton 322 adlı ve yaklaşık M.Ö. 1800'e ait bir kil tablet, Pisagor üçlülerini içerir — antik Mezopotamyalıların Yunanlılardan çok önce deseni anladıklarının kanıtı.
Bu dersin sonunda, bu teoremi eksik mesafeleri bulmak, dik açıları kontrol etmek ve günlük hayatta gizli olan geometriyi görmek için kullanabileceksiniz.
Isınma
Çözmeye Değer Bir Problem
Bir gölün bir tarafında durduğunuzu hayal edin. Ağaç göl boyunca direkt karşı tarafta görünüyor. Bir mezura aletiniz var ama kesinlikle yüzmek istemiyorsunuz.
Bir Dik Üçgen Nedir?
Dik Üçgen
Bir dik üçgen, tam olarak 90 derecelik bir açıya sahip bir üçgendir — mükemmel bir kare köşe.
Dik açıları her yerde görürsünüz: bir kitabın köşesi, kapı çerçevesinin kenarı, duvar ile zeminin kesişimi.
Dik açıyı oluşturan iki taraf bacak (katetus) olarak adlandırılır.
Dik açının karşı tarafındaki — en uzun taraf — hipotenüs olarak adlandırılır.
İşte binlerce yıl önce keşfedilen büyük fikir:
a² + b² = c²
burada a ve b bacaklar, c ise hipotenüstür.
Başka bir deyişle: bir dik üçgenin her bir tarafına bir kare çizerseniz, iki küçük karenin alanı tam olarak en büyük karenin alanına eşit olur.
Görsel Kanıt
Kareler ile Görme
Uzunluğu 3 ve 4 olan bacaklara sahip bir dik üçgen hayal edin.
Şimdi her bir tarafına bir kare çizdiğinizi hayal edin:
- Uzunluğu 3 olan bacak üzerindeki karenin alanı 3² = 9'dur
- Uzunluğu 4 olan bacak üzerindeki karenin alanı 4² = 16'dır
- Hipotenüs üzerindeki karenin alanı 9 + 16 = 25'dir
Ve 25'in karekökü nedir? 5'dir.
Yani hipotenüs 5 birim uzunluğundadır. Bu 3-4-5 dik üçgenidir — geometrideki en ünlü olanı.
Merdiven Problemi
Eksik Tarafları Bulma
Pisagor Teoremi sadece hipotenüsü bulmak için değildir. Herhangi bir eksik tarafı bulmak için yeniden düzenleyebilirsiniz.
Bir bacağı bulmak için: a² = c² - b²
Klasik bir problemi deneyelim.
Bir merdiven 10 feet uzunluğundadır ve bir duvarın yanına yaslanır. Merdivenin tabanı duvardan 6 feet uzakta.
Duvar, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüstür (duvar ile zemin arasındaki dik açıdan çapraz olarak, en uzun taraftır).
Zemin mesafesi (6 feet) bir bacaktır. Duvar boyunca yükseklik diğer bacaktır — ve bulmamız gereken şey budur.
Ünlü Üçlüler
Pisagor Üçlüleri
Bir Pisagor üçlüsü, a² + b² = c² sağlayan üç tam sayının bir setidir.
En yaygın olanlar:
- 3, 4, 5 — klasik (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13 — (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17 — (64 + 225 = 289)
İnşaatçının 3-4-5 Kuralı
Marangozlar ve inşaat işçileri mükemmel dik açılar yapmak için her gün 3-4-5 üçlüsünü kullanırlar.
İşte nasıl çalışır: bir kare köşeye ihtiyacınız olduğunda — bir temel, bir güverte veya bir çit için — bir taraf boyunca 3 feet ve diğer taraf boyunca 4 feet ölçün. Eğer bu iki nokta arasındaki çapraz tam olarak 5 feet ise, köşeniz mükemmel 90 derecedir.
Bu hile, antik Mısırlılar piramitleri inşa ettikten beri kullanılmaktadır. Bu işi yapan insanlara halat gerenleri dediler — 3, 4 ve 5 birimlerinde ölçülen düğümlü halatlar kullanırlar.
Üçgenlerden Koordinatlara
Koordinat Geometrisine Bağlanma
Pisagor Teoremi sadece geometri sınıfında yaşamaz — koordinat düzleminde kullandığınız mesafe formülünün arkasındaki motordur.
İşte bağlantı: iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak istiyorsanız, mesafenin hipotenüs olduğu bir dik üçgen çizebilirsiniz.
Diyelim ki iki noktanız var: (x₁, y₁) ve (x₂, y₂).
- Aralarındaki yatay mesafe (x₂ - x₁)'dir — bu bir bacaktır.
- Aralarındaki dikey mesafe (y₂ - y₁)'dir — bu diğer bacaktır.
- Düz çizgi mesafesi hipotenüstür.
Pisagor Teoremini uygulayın:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
İşte budur. Mesafe formülü, sadece bir koordinat-geometri kılığında Pisagor Teoremidir.
Doğada Pisagor Teoremi
Teoremi Her Yerde
Pisagor Teoremi, matematiğin tamamında en pratik olarak yararlı fikirlerden biridir. İşte gerçek hayatta nerede görünüyor:
Navigasyon ve GPS — Telefonunuz, Pisagor Teoremi olan mesafe formülünü kullanarak koordinatlar arasındaki mesafeleri hesaplar. Küçük ölçeklerde enlem ve boylam bir ızgarayı oluştururken, düz çizgi mesafeleri hipotenüslerdir.
Mimarlık ve İnşaat — Her binadaki her dik açı bu teoremi kullanarak kontrol edildi. 3-4-5 halat çekme oyunu hala günümüzün inşaat alanlarında kullanılmaktadır.
Ekran Boyutları — Bir TV veya telefon 55 inçlik bir ekrana veya 6,1 inçlik bir ekrana sahip olarak ilan edildiğinde, bu sayı çapraz ölçümdür. Bir dikdörtgenin köşegeni, genişliği ve yüksekliği tarafından oluşturulan dik üçgenin hipotenüsüdür.
Spor — Bir beyzbol ana tabandan ikinci tabana ne kadar uzak gider? Tabanlar bir kare oluşturur ve atış çapraz — bir Pisagor problemidir.