Привіт
Сьогодні ми будемо досліджувати одну з найстаріших та найбільш потужних ідей у математиці.
Це називається теорема Піфагора, і вона використовується понад 2500 років — древніми будівельниками, мореплавцями, інженерами та навіть GPS вашого телефону.
Теорема названа на честь Піфагора, грецького математика, який жив близько 570–495 років до н.е. Він очолював спільноту вчених, які вважали, що числа — це секретна мова Всесвіту.
Але ось в чому справа: вавилоняни знали про цей зв'язок принаймні на 1000 років раніше, ніж народився Піфагор. Глиняна табличка, названа Plimpton 322, датована близько 1800 року до н.е., містить піфагорейські тройки — докази того, що давні месопотамійці розуміли цей закономірність задовго до греків.
До кінця цього уроку ви зможете використовувати цю теорему для пошуку невідомих відстаней, перевірки прямих кутів і бачення геометрії в повсякденному житті.
Розминка
Проблема, яка варта вирішення
Уявіть, що ви стоїте на одному боці озера. Ви бачите дерево з іншого боку, прямо напроти. У вас є мірна стрічка, але ви точно не хочете плисти.
Що робить трикутник прямокутним?
Прямокутний трикутник
Прямокутний трикутник — це трикутник, який має один кут, що дорівнює 90 градусів — ідеальний квадратний кут.
Прямі кути ви бачите скрізь: кут книги, край дверного косяка, перетин стіни та підлоги.
Дві сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами.
Сторона, яка знаходиться напроти прямого кута — найдовша сторона — називається гіпотенузою.
Ось велика ідея, відкрита тисячи років тому:
a² + b² = c²
де a та b — катети, а c — гіпотенуза.
Іншими словами: якщо ви намалюєте квадрат на кожній стороні прямокутного трикутника, площа двох менших квадратів дорівнює площі найбільшого квадрата.
Наочний доказ
Бачимо це за допомогою квадратів
Уявіть прямокутний трикутник з катетами довжини 3 та 4.
Тепер уявіть, що намалювали квадрат на кожній стороні:
- Квадрат на катеті довжини 3 має площу 3² = 9
- Квадрат на катеті довжини 4 має площу 4² = 16
- Квадрат на гіпотенузі має площу 9 + 16 = 25
А яке число, помножене на себе, дає 25? Це 5.
Отже, гіпотенуза має довжину 5 одиниць. Це трикутник 3-4-5 — найвідоміший у всій геометрії.
Проблема з драбиною
Пошук невідомих сторін
Теорема Піфагора не просто для знаходження гіпотенузи. Ви можете її переставити, щоб знайти будь-яку невідому сторону.
Щоб знайти катет: a² = c² - b²
Спробуймо класичну проблему.
Драбина має 10 футів завдовжки і прислоняється до стіни. Основа драбини знаходиться 6 футів від стіни.
Стіна, земля та драбина утворюють прямокутний трикутник. Драбина — це гіпотенуза (вона найдовша сторона, котра виходить від прямого кута між стіною та землею).
Відстань по землі (6 футів) — це один катет. Висота вгору по стіні — це інший катет — і саме це ми повинні знайти.
Знамениті тройки
Піфагорейські тройки
Піфагорейська тройка — це набір із трьох цілих чисел, що задовольняють рівняння a² + b² = c².
Ось найпоширеніші з них:
- 3, 4, 5 — класична (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13 — (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17 — (64 + 225 = 289)
Правило будівельників 3-4-5
Плотники та робітники будівництва використовують тройку 3-4-5 щодня, щоб зробити ідеальні прямі кути.
Ось як це працює: коли вам потрібен квадратний кут — для фундаменту, палубки чи паркану — виміряйте 3 фути вздовж однієї сторони та 4 фути вздовж іншої. Якщо діагональ між цими двома точками дорівнює рівно 5 футів, ваш кут — ідеальний 90 градусів.
Цей прийом використовується з часів давніх єгиптян, які будували піраміди. Людей, які це робили, називали натягувачами мотузки — вони використовували вузлові мотузки, виміряні одиницями 3, 4 та 5.
Від трикутників до координат
Зв'язок з координатною геометрією
Теорема Піфагора — це не просто для уроків геометрії — вона є двигуном для формули відстані, яку ви використовуєте на координатній площині.
Ось зв'язок: якщо ви хочете знайти відстань між двома точками, ви можете намалювати прямокутний трикутник, де відстань — це гіпотенуза.
Скажімо, у вас є дві точки: (x₁, y₁) та (x₂, y₂).
- Горизонтальна відстань між ними — це (x₂ - x₁) — це один катет.
- Вертикальна відстань між ними — це (y₂ - y₁) — це інший катет.
- Пряма лінійна відстань — це гіпотенуза.
Застосуйте теорему Піфагора:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Ось і все. Формула відстані — це теорема Піфагора, замасквована під координатну геометрію.
Теорема Піфагора в природі
Теорема скрізь
Теорема Піфагора — це одна з найбільш практично корисних ідей у всій математиці. Ось де вона з'являється в реальному житті:
Навігація та GPS — Ваш телефон розраховує відстані між координатами, використовуючи формулу відстані, що є теоремою Піфагора. У малих масштабах широта та довгота утворюють сітку, а прямолінійні відстані — це гіпотенузи.
Архітектура та будівництво — Кожний прямий кут у кожній будівлі перевіювався за допомогою цієї теореми. Хитрість натягування мотузки 3-4-5 все ще використовується на будівельних майданчиках сьогодні.
Розміри екранів — Коли телевізор або телефон рекламується з екраном 55 дюймів або дисплеєм 6.1 дюйма, це число — це вимірювання діагоналі. Діагональ прямокутника — це гіпотенуза прямокутного трикутника, утвореного його шириною та висотою.
Спорт — Яка відстань проходить бейсбол від домашньої плити до другої бази? Бази утворюють квадрат, а кидання — це діагональ — піфагорейська проблема.