მოგესალმებათ
დღეს ჩვენ შევისწავლით ერთ-ერთ ყველაზე ძველ და ძლევამოსილ იდეას მათემატიკაში.
მას ეწოდება პითაგორას თეორემა, და იგი გამოიყენებოდა 2500 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში — ანტიკური მშენებლები, მეზღვაურები, ინჟინრებმა და თქვენი ტელეფონის GPS-მა.
თეორემა დაიწერა პითაგორას სახელით, ბერძენი მათემატიკოსი, რომელიც ცხოვრობდა დაახლოებით 570–495 წელი ჩვენი ერამდე. მან ხელმძღვანელობდა მეცნერის საზოგადოებას, რომლებიც თვლიდნენ, რომ რიცხვები იყო სამყაროს ფარული ენა.
მაგრამ აი რა არის: ბაბილონელებმა იცოდნენ ეს ურთიერთობა მინიმუმ 1000 წელი ადრე, ვიდრე პითაგორა გაიბადა. თიხის ტაბლეტი სახელწოდებით Plimpton 322, რომელიც თარიხდება დაახლოებით 1800 წელი ჩვენი ერამდე, შეიცავს პითაგორას სამეულებს — მტკიცებულება, რომ ანტიკური მესოპოტამიელებმა გაიგეს ეს ნიმუში ბევრი ხნით ადრე, ვიდრე ბერძნები.
ამ გაკვეთილის ბოლოს, თქვენ შეძლებთ გამოიყენოთ ეს თეორემა დაკარგული მანძილის საპოვნელად, მართკუთხა კუთხეების შემოწმებისთვის და გეომეტრია ხედვა ყოველდღიურ ცხოვრებაში.
გათბობა
პრობლემა, რომელიც ღირს გადაჭრას
წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ დგახართ ტბის ერთი მხარეს. თქვენ ხედავთ ხეს მეორე მხარეს, პირდაპირ წყლის გაგრძელებაში. თქვენ გაქვთ ზომის ლენტი, მაგრამ თქვენ გარკვევით არ გინდათ ცურვა.
რა აკეთებს მართკუთხა სამკუთხედს?
მართკუთხა სამკუთხედი
მართკუთხა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელსაც აქვს ერთი კუთხე, რომელიც არის ზუსტად 90 გრადუსი — ქვეყნის კვადრატი.
თქვენ ხედავთ სწორი კუთხეები ყველგან: წიგნის კუთხე, კარის ჩარჩოს ზღვარი, კედლისა და იატაკის გადაკვეთა.
ორი მხარე, რომელიც ქმნის სწორ კუთხეს, ეწოდება ფეხებს.
მხარე სწორი კუთხის მოპირდაპირედ — ყველაზე გრძელი მხარე — ეწოდება ჰიპოტენუზა.
აი დიდი იდეა, აღმოჩენილი ათასი წლის წინ:
a² + b² = c²
სადაც a და b არის ფეხები, და c არის ჰიპოტენუზა.
სიტყვებში: თუ თქვენ შედგით კვადრატი თითოეულ მხარეს მართკუთხა სამკუთხედის, ორი უფრო მცირე კვადრატის ფართობი დამატებით ტოლია ყველაზე დიდი კვადრატის ფართობი.
ვიზუალური მტკიცებულება
კვადრატებით ხედვა
წარმოიდგინეთ მართკუთხა სამკუთხედი 3 და 4 სიგრძის ფეხებით.
ახლა წარმოიდგინეთ კვადრატის ხატვა თითოეულ მხარეს:
- კვადრატი 3 სიგრძის ფეხზე აქვს ფართობი 3² = 9
- კვადრატი 4 სიგრძის ფეხზე აქვს ფართობი 4² = 16
- კვადრატი ჰიპოტენუზაზე აქვს ფართობი 9 + 16 = 25
და რა არის 25-ის კვადრატული ფესვი? ეს არის 5.
ასე რომ, ჰიპოტენუზა არის 5 ერთეული. ეს არის 3-4-5 მართკუთხა სამკუთხედი — ყველაზე ცნობილი გეომეტრიაში.
კიბის პრობლემა
დაკარგული მხარეების პოვნა
პითაგორას თეორემა არ არის მხოლოდ ჰიპოტენუზის პოვნა. თქვენ შეგიძლიათ გადააკეთოთ იგი ნებისმიერი დაკარგული მხარის პოვნა.
ფეხის პოვნა: a² = c² - b²
ცადე ტიპიკური პრობლემა.
კიბა არის 10 ფუტი და ეჭვი კედელს. კიბის საფუძველი არის 6 ფუტი კედლიდან.
კედელი, ნიადაგი და კიბა ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედს. კიბა არის ჰიპოტენუზა (ეს არის ყველაზე გრძელი მხარე, რომელიც იწმინდება კედლის და მიწის მართი კუთხიდან).
მიწის მანძილი (6 ფუტი) არის ერთი ფეხი. სიმაღლე კედლის ზემოთ არის მეორე ფეხი — და ეს არის ის, რაც ჩვენ უნდა დავაფიქსიროთ.
ცნობილი სამეულები
პითაგორას სამეულები
პითაგორას სამეული არის სამი მთელი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს a² + b² = c².
აი ყველაზე კოშერი:
- 3, 4, 5 — კლასიკა (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13 — (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17 — (64 + 225 = 289)
მშენებლის 3-4-5 წესი
დიკა და მშენებლობის მუშაკები იყენებენ 3-4-5 სამეულებს ყოველდღე, რომ გააკეთონ ზუსტი სწორი კუთხეები.
აი როგორ იმუშავებს: როდესაც თქვენ გჭირდებათ კვადრატი კუთხე — საფუძველი, გემბელი ან ღობე — ზომა 3 ფუტი ერთი მხარე და 4 ფუტი სხვა. თუ დიაგონალი ამ ორ წერტილს შორის ზუსტად 5 ფუტი, თქვენი კუთხე არის ქვეყნის 90 გრადუსი.
ეს ხრიკი გამოიყენება ძველი ეგვიპტის მეთოდით პირამიდების აშენებისას. তারা ეძახდნენ ხალხს, რომელიც აკეთებდა ამას აბრეშუმის გამხეკებელი — ისინი აბრეშუმის აბრეშუმი 3, 4 და 5 ერთეულებით.
სამკუთხედებიდან კოორდინატებამდე
კოორდინატის გეომეტრიასთან დაკავშირება
პითაგორას თეორემა არ ცხოვრობს მხოლოდ გეომეტრიის კლასში — ეს არის მანძილის ფორმულა, რომელიც თქვენ იყენებთ კოორდინატის სიბრტყეში.
აი კავშირი: თუ თქვენ გინდათ იპოვნოთ მანძილი ორ წერტილს შორის, თქვენ შეგიძლიათ დახატოთ მართკუთხა სამკუთხედი, სადაც მანძილი არის ჰიპოტენუზა.
ვთქვათ თქვენ გაქვთ ორი წერტილი: (x₁, y₁) და (x₂, y₂).
- ჰორიზონტალური მანძილი მათ შორის არის (x₂ - x₁) — ეს არის ერთი ფეხი.
- ვერტიკალური მანძილი მათ შორის არის (y₂ - y₁) — ეს არის მეორე ფეხი.
- სწორი ხაზის მანძილი არის ჰიპოტენუზა.
გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
ეს ის. მანძილის ფორმულა არის პითაგორას თეორემა მოსახლეობა ფიქსირების კოორდინატი გეომეტრიის კვამლი.
პითაგორას თეორემა ველში
თეორემა ყველგან არის
პითაგორას თეორემა არის ერთ-ერთი ყველაზე პრაქტიკული გამოსადეგი იდეა მათემატიკის. აი სადაც იგი გამოჩნდება რეალურ ცხოვრებაში:
ნავიგაცია და GPS — თქვენი ტელეფონი გამოითვლის მანძილი კოორდინატებს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით, რომელიც არის პითაგორას თეორემა. მცირე მასშტაბით, განედი და გრძედი ქმნიან ქსელი, და სწორი ხაზის მანძილი არის ჰიპოტენუზა.
არქიტექტურა და მშენებლობა — ყოველი სწორი კუთხე ყოველ შენობაში უცკოვნელი ეს თეორემა. 3-4-5 აბრეშუმის სტრეჩينგი დაუკავშირდა მშენებლობის საიტი დღეს.
ეკრანის ზომები — როდესაც ტელევიზია ან ტელეფონი რეკლამდება როგორც 55-ინჩი ეკრანი ან 6.1-ინჩი დისპლეი, რომ რიცხვი არის დიაგონალი გაზომვა. დიაგონალი მართკუთხედის არის ჰიპოტენუზა მართკუთხა სამკუთხედის რომელსაც აქვს მის სიგანე და სიმაღლე.
სპორტი — რამდენად ოდესმე იმოგზაურებს ბეისბოლი მიწიდან ფირფიტა მეორე ფუძე? ფუძეები ქმნიან კვადრატი, და აგრძელებს არის დიაგონალი — პითაგორას პრობლემა.