什么是面积？
面积：形状内部的空间
面积是平面（二维）形状内部的空间量。可以想象成完全覆盖一个表面所需的方形瓷砖数量。
我们用平方单位测量面积——cm²、m²、ft²、in²。小的²表示我们在计算平方。
以下是你将使用的最重要的面积公式：
- 矩形：面积 = 长 × 宽
- 三角形：面积 = ½ × 底 × 高
- 圆：面积 = π × r²
- 平行四边形：面积 = 底 × 高
注意，每个面积公式都涉及两个长度的相乘。这就是为什么单位总是平方的——你在把米×米相乘得到平方米。
矩形面积
公式实践
标准篮球场长28米、宽15米。它是一个矩形。
要找到它的面积，我们相乘：面积 = 长 × 宽。
三角形面积
为什么三角形面积是½ × 底 × 高？
关键的见解是：每个三角形都是矩形的恰好一半。
画任何三角形。现在想象复制它，翻转副本，并将其贴在原始图形上。你得到一个与底边和高度相同的矩形（或平行四边形）。
由于三角形是矩形的一半：
- 矩形面积 = 底 × 高
- 三角形面积 = ½ × 底 × 高
底是你选择的任何一边。高是从底边到对面顶点的垂直距离——它必须与底边成90°角。
例子：底为10厘米、高为6厘米的三角形面积 = ½ × 10 × 6 = 30平方厘米。
圆面积
圆：π出现了
圆的面积取决于它的半径（r）——从圆心到边缘的距离。
面积 = π × r²
其中π（圆周率）≈ 3.14。这是一个特殊的数字，每当涉及圆时都会出现。
要找到圆面积：先平方半径，然后乘以π。
周长（圆周的距离）是：
C = 2 × π × r
注意不同之处：面积使用r²（给出平方单位），周长只使用r（给出线性单位）。
披萨数学
披萨数学时间
一个圆形披萨的半径为6英寸。
分解复杂形状
复合形状：分而治之
现实世界中的形状很少是完美的矩形或圆形。房间可能是L形的。院子可能结合了矩形和三角形。窗户可能是顶部有半圆的矩形。
策略总是相同的：
1. 分解复杂形状成你知道的简单形状（矩形、三角形、圆）
2. 计算每个简单形状的面积
3. 加起来得到总面积
有时你需要减去而不是加——就像找到一面有窗户的墙的面积。墙的面积减去窗户面积等于你需要粉刷的面积。
L形房间
L形房间
一个L形房间由两个相连的矩形组成。
- 矩形1是10米×4米
- 矩形2是6米×3米
什么是体积？
体积：三维形状内部的空间
正如面积测量平面形状内部的空间一样，体积测量三维立体内部的空间。
将体积想象为你可以装在形状内部的微小立方体的数量。
关键公式：
- 立方体：V = s³（边 × 边 × 边）
- 矩形棱柱（盒子）：V = l × w × h（长 × 宽 × 高）
- 圆柱：V = π × r² × h（圆形底面的面积 × 高）
- 球体：V = 4/3 × π × r³
体积以立方单位测量——cm³、m³、ft³。小的³表示我们在计算立方体。
一个有用的转换：1升 = 1,000立方厘米。这就是我们如何将几何与现实世界的测量相关联，比如容器能装多少水。
鱼缸体积
鱼缸能装多少水？
一个矩形鱼缸长60厘米、宽30厘米、高40厘米。
首先以立方厘米为单位求体积，然后转换为升。
记住：1升 = 1,000立方厘米。
在网格中导航
坐标平面
坐标平面是用两个数字绘制点的网格。
关键部分：
- X轴——水平数轴（左–右）
- Y轴——垂直数轴（上–下）
- 原点——轴相交的点（0, 0）
- 坐标——每个点写成(x, y)——水平优先，垂直次之
四个象限
轴将平面分成四个区域，称为象限：
- 第一象限（右上）：x为正，y为正——比如（3, 2）
- 第二象限（左上）：x为负，y为正——比如（-2, 4）
- 第三象限（左下）：x为负，y为负——比如（-3, -1）
- 第四象限（右下）：x为正，y为负——比如（4, -2）
可以把它看作一张地图：x告诉你有多远东或西，y告诉你有多远北或南。
从点构成形状
连接点
当你在坐标平面上绘制点并按顺序连接它们时，你可以创建形状。
试试这个：绘制点(0, 0)、(4, 0)、(4, 3)和(0, 3)并连接它们。