أربعة تحويلات

نقل الأشكال دون كسرها

التحول هو قاعدة تحرك أو تغيير كل نقطة من النقاط في الشكل. هناك أربعة تحويلات أساسية:

الترجمة (الانزلاق): تحرك كل نقطة بمسافة ثابتة في الاتجاه نفسه. لا يحدث دوران أو انعكاس.

الدوران (التحول): دوران الشكل حول نقطة محورية معينة (المركز الدوراني) بزاوية معينة.

الانعكاس (الانكسار): انعكاس الشكل على خط (خط الانعكاس) مما ينتج عنه صورة مرآة.

التكبير (التصغير): تكبير أو تصغير الشكل من نقطة مركزة بمعامل تكبير.

الأولى الثلاثة: الترجمة والدوران والانعكاس: تسمى حركات صلبة لأنها تحافظ على الشكل والمagnitude. الناتج دائمًا ما يكون متطابقًا مع الأصلي.

التكبير يغير الحجم ولكن لا يغير الشكل. الناتج يكون مماثلًا للأساسي.

تمرين الانعكاس

انعكاس على محور

عند انعكاس نقطة على محور y ، يتحول علامة x (تصبح الإيجابي سلبية أو العكس) بينما يظل y ثابتًا.

ما هو الدليل؟

منطق الهندسة

الدليل الهندسي هو حجة منطقية تظهر لماذا يجب أن يكون البيان صحيحًا. ليس كافياً قول أن شيء يبدو صحيحًا: يجب أن تظهر لماذا هو صحيح.

كل دليل يتبع سلسلة:

المُقَدَّم (الشيء الذي تبدأ به) → البيان (تأكيد) → السبب (لماذا هذا التأكيد صحيح) → ... → الاستنتاج

يجب أن يكون كل سبب من ثلاثة أشياء:

- الdefinition (مثل 'زاوية مستقيمة هي 90 درجة')

- الpostulate (حقيقة أساسية نتقبلها بدون دليل، مثل 'من خلال أي نقطتين هناك خط واحد فقط')

- تُعرف النظرية (شيء تم إثباته مسبقًا، مثل 'الزوايا المتعامدة تساوي بعضها البعض')

الإثباتات هي العمود الفقري للجبر. هي كيف بنى الرياضيون المعرفة منذ أكثر من 2000 عام، بدءًا من أعمال إقليدس.

الخطوط المتوازية والزوايا

حقيقة جبرية كلاسيكية

عندما يتم اقتطاع خطين متوازيين بواسطة خط متقاطع (خط يقطع كلاهما)، يتم إنشاء عدة علاقات زاوية.

من أكثر الأمور أهمية: الزوايا البديلة داخلية: الزوايا على الجانب الآخر من الخط المتقاطع، بين الخطين المتوازيين.

SOH-CAH-TOA

النسب داخل المثلثات الأفقية

تبدأ الجبر المثلثي بتجربة بسيطة: في مثلث أفقى، إذا كنت تعرف واحدة من الزوايا المائلة، تكون نسب السIDES ثابتة: لا يهم حجم المثلث.

في أي زاوية مائلة θ في مثلث أفقى:

هيئة (sin θ) = المقابل / الأساس

كوسية (cos θ) = المجاور / الأساس

طائرة (tan θ) = المقابل / المجاور

تذكر SOH-CAH-TOA يساعدك على تذكر:

- هيئة = Opposite / Hypotenuse

- كوسية = Adjacent / Hypotenuse

- طائرة = Opposite / Adjacent

هذه النسب هي نفسها في جميع المثلثات الأفقية المتشابهة ذات الزوايا نفسها. مثلث 30-60-90 صغير و مثلث 30-60-90 كبير لديه نفس قيم hiئة و كوسية و طائرة.

استخدام هيئة

حل باستخدام الجبر المثلثي

يحتوي المثلث الأفقى على زاوية 30 درجة. الطول المقابل للزاوية 30 درجة هو 5 سم.

تم الإشارة إلى أن هيئة 30° = 0.5.

أين يعيش المثلثات

المثلثات في كل مكان

الفكرة التي تعلمتها: التطابق والتشابه والتحولات والبراهين والجبر التrigonometry: ليست فكرة مجردة في الفصل الدراسي. هذه الأدوات المستخدمة يوميًا في العالم الحقيقي:

الهندسة المعمارية: تستخدم المباني المثلثات لجعلها قوية. المثلث هو الوحيد من الأشكال المثلثية التي لا يمكن تغيير طول أطرافها. لذلك فإن قواعد السلم ومقاطع الجسور والكران مليئة بالمثلثات.

التنقل: تستخدم التثليثية الزوايا من نقطتين معروفتين لتحديد موقع نقطة ثالثة. هذا هو كيفية تحديد موقعك بواسطة جوجل الـ GPS.

الرسوميات الحاسوبية: كل نموذج ثلاثي الأبعاد في لعبة فيديو أو فيلم مصنوع من الآلاف من المثلثات الصغيرة (الخلايا المثلثية). التحولات (الترجمة والدورانية والتصغير) تحرك تلك النماذج حول الشاشة.

الرياضات: زاوية انعكاس كرة البلياردو عن الحائط تساوي زاوية اقترابها. يتم حساب زوايا رمي القوارب. يستخدم متزلجون زوايا منحدرات التل.

الهندسة: يجب أن تتناسب أجزاء الآلات بداخل الحدود المقاسة بالآلاف من المليامتر. يقوم البراهين الجبرية بضمان أن التصاميم ستعمل قبل البناء.

مشكلة السلم

الجمع بين كل شيء

السلم يلتزم بجدار. السلم يلمس الجدار في 12 قدم. قاعدة السلم هي 5 أقدام عن الجدار.

الجدار والتراب والسلم يتشكلون مثلثًا مستقيماً.