Kongruen vs. Serupai
Dua Cara Bentuk Dapat Berhubungan
Dalam geometri, dua figur dapat berhubungan dalam dua cara penting:
Kongruen (≅) berarti figur-figur memiliki bentuk YANG SAMA DAN ukuran yang sama. Setiap sisi & setiap sudut cocok dengan tepat. Jika Anda memotong salah satu & meletakkannya di atas yang lain, mereka akan sejajar dengan sempurna.
Serupai (~) berarti figur-figur memiliki bentuk yang sama tetapi ukuran berbeda. Semua sudut mereka sama, tetapi sisi-sisinya proporsional: satu figur adalah versi yang diperbesar atau diperkecil dari yang lain.
Pikirkan seperti ini: fotokopi pada 100% menghasilkan salinan yang kongruen. Fotokopi pada 150% menghasilkan salinan yang serupai: bentuk sama, ukuran lebih besar.
Tes Kekongruenan Segitiga
Membuktikan Segitiga-Segitiga Kongruen
Sebuah segitiga memiliki 6 pengukuran: 3 sisi & 3 sudut. Tetapi Anda tidak perlu semua 6 untuk membuktikan dua segitiga kongruen. Ada jalan pintas:
SSS (Sisi-Sisi-Sisi): Jika ketiga sisi satu segitiga sama dengan ketiga sisi segitiga lain, segitiga-segitiga itu kongruen.
SAS (Sisi-Sudut-Sisi): Jika dua sisi & sudut yang disertakan (sudut di antara dua sisi tersebut) sama, segitiga-segitiga itu kongruen.
ASA (Sudut-Sisi-Sudut): Jika dua sudut & sisi yang disertakan (sisi di antara dua sudut tersebut) sama, segitiga-segitiga itu kongruen.
AAS (Sudut-Sudut-Sisi): Jika dua sudut & sisi yang tidak disertakan sama, segitiga-segitiga itu kongruen.
Perhatikan bahwa AAA BUKAN tes kekongruenan: dua segitiga dapat memiliki semua sudut yang sama tetapi memiliki ukuran berbeda. Itu membuat mereka serupai, bukan kongruen.
Pemeriksaan Kekongruenan
Terapkan Apa yang Anda Ketahui
Dua segitiga memiliki sisi yang mengukur 5, 12, & 13 unit. Segitiga kedua juga memiliki sisi yang mengukur 5, 12, & 13 unit.
Empat Transformasi
Menggerakkan Bentuk Tanpa Merusaknya
Transformasi adalah aturan yang memindahkan atau mengubah setiap titik dari figur. Ada empat transformasi fundamental:
Translasi (geser): Gerakkan setiap titik jarak yang sama dalam arah yang sama. Bentuk tidak berputar atau terbalik.
Rotasi (putar): Putar figur mengelilingi titik tetap (pusat rotasi) dengan sudut tertentu.
Refleksi (balik): Balik figur di atas garis (garis refleksi), menciptakan bayangan cermin.
Dilatasi (skala): Perbesar atau perkecil figur dari titik pusat dengan faktor skala.
Tiga yang pertama: translasi, rotasi, & refleksi: disebut gerak kaku karena mereka mempertahankan bentuk & ukuran. Hasilnya selalu kongruen dengan aslinya.
Dilatasi mengubah ukuran tetapi mempertahankan bentuk. Hasilnya serupai dengan aslinya.
Praktik Refleksi
Mereflesikan di Atas Sumbu
Ketika Anda mereflesikan titik di atas sumbu-y, koordinat-x berubah tanda (positif menjadi negatif, atau sebaliknya) sementara koordinat-y tetap sama.
Apa Itu Pembuktian?
Logika Geometri
Pembuktian geometri adalah argumen logis yang menunjukkan mengapa pernyataan harus benar. Tidak cukup mengatakan sesuatu terlihat benar: Anda harus menunjukkan mengapa itu benar.
Setiap pembuktian mengikuti rantai:
Diberikan (apa yang Anda mulai dengan) → Pernyataan (klaim) → Alasan (mengapa klaim itu benar) → ... → Kesimpulan
Setiap alasan harus salah satu dari tiga hal:
- Definisi (misalnya, 'sudut siku-siku adalah 90 derajat')
- Postulat (kebenaran dasar yang kami terima tanpa pembuktian, misalnya, 'melalui dua titik ada tepat satu garis')
- Teorema (sesuatu yang sudah terbukti, misalnya, 'sudut-sudut vertikal sama')
Pembuktian adalah tulang punggung geometri. Ini adalah bagaimana matematikawan telah membangun pengetahuan selama lebih dari 2.000 tahun, dimulai dengan Elements Euclid.
Garis Sejajar dan Sudut
Fakta Geometri Klasik
Ketika dua garis sejajar dipotong oleh transversal (garis yang melintasi keduanya), beberapa hubungan sudut tercipta.
Salah satu yang paling penting: sudut-sudut interior bergantian: sudut-sudut di sisi berlawanan dari transversal, antara garis sejajar.
SOH-CAH-TOA
Rasio-Rasio Di Dalam Segitiga Siku-Siku
Trigonometri dimulai dengan pengamatan sederhana: dalam segitiga siku-siku, jika Anda mengetahui salah satu sudut lancip, rasio sisi-sisinya tetap: tidak peduli seberapa besar atau kecil segitiga tersebut.
Untuk sudut lancip θ apa pun dalam segitiga siku-siku:
Sinus (sin θ) = Berlawanan / Hipotenusa
Kosinus (cos θ) = Berdampingan / Hipotenusa
Tangen (tan θ) = Berlawanan / Berdampingan
Mnemonik SOH-CAH-TOA membantu Anda mengingat:
- Sine = Opposite / Hypotenuse (Sinus = Berlawanan / Hipotenusa)
- Cosine = Adjacent / Hypotenuse (Kosinus = Berdampingan / Hipotenusa)
- Tangent = Opposite / Adjacent (Tangen = Berlawanan / Berdampingan)
Rasio-rasio ini sama untuk SEMUA segitiga siku-siku serupai dengan sudut-sudut yang sama. Segitiga 30-60-90 yang kecil & segitiga 30-60-90 yang besar memiliki nilai sinus, kosinus, & tangen yang sama.
Menggunakan Sinus
Selesaikan dengan Trigonometri
Segitiga siku-siku memiliki sudut 30°. Sisi yang berlawanan sudut 30° adalah 5 cm.
Anda diberitahu bahwa sin 30° = 0.5.
Di Mana Geometri Tinggal
Geometri Ada Di Mana-Mana
Konsep yang telah Anda pelajari: kekongruenan, keserupaan, transformasi, pembuktian, & trigonometri: bukan hanya ide-ide kelas. Mereka adalah alat yang digunakan setiap hari di dunia nyata:
Arsitektur: Bangunan menggunakan segitiga untuk kekuatan struktural. Segitiga adalah satu-satunya poligon yang tidak dapat cacat tanpa mengubah panjang sisi. Itulah mengapa rangka atap, jembatan, & crane penuh dengan segitiga.
Navigasi: Triangulasi menggunakan sudut dari dua titik yang diketahui untuk menemukan posisi titik ketiga. Ini adalah bagaimana satelit GPS menentukan lokasi Anda.
Grafis Komputer: Setiap model 3D dalam video game atau film dibuat dari ribuan segitiga kecil (jala poligon). Transformasi (translasi, rotasi, penskalaan) menggerakkan model-model itu di sekitar layar.
Olahraga: Sudut pantulan bola biliar dari bumper sama dengan sudut pendekatannya. Quarterback menghitung sudut lemparan. Skateboarder menggunakan sudut ramp.
Teknik: Bagian mekanis harus cocok dalam toleransi yang diukur dalam seperseribu inci. Pembuktian geometri memastikan bahwa desain akan bekerja sebelum apa pun dibangun.
Masalah Tangga
Menyatukannya Semuanya
Sebuah tangga bersandar pada dinding. Tangga menyentuh dinding 12 kaki ke atas. Dasar tangga adalah 5 kaki dari dinding.
Dinding, tanah, & tangga membentuk segitiga siku-siku.