კონგრუენტი vs. მსგავსი
ორი გზა, თუ როგორ შეიძლება ფორმებმა ერთმანეთთან დაკავშირებული იყოს
გეომეტრიაში ორი ფიგურა შეიძლება დაკავშირებული იყოს ორი მნიშვნელოვანი გზით:
კონგრუენტი (≅) ნიშნავს, რომ ფიგურებს აქვთ იგივე ფორმა და იგივე ზომა. ყველა გვერდი & ყველა კუთხე ზუსტად ემთხვევა. თუ ერთი გამოჭერ & მეორეზე მოათავსებ, ისინი სრულყოფილად ერთმანეთს დაემთხვევა.
მსგავსი (~) ნიშნავს, რომ ფიგურებს აქვთ იგივე ფორმა მაგრამ განსხვავებული ზომები. ყველა მათი კუთხე თანაბარია, მაგრამ გვერდები პროპორციულია: ერთი ფიგურა სხვის გადიდებული ან შემცირებული ვერსია.
ეს ასე წარმოიდგინე: 100% კოპირება აწარმოებს კონგრუენტ ასლს. 150% კოპირება აწარმოებს მსგავსი ასლს: იგივე ფორმა, უფრო დიდი ზომა.
სამკუთხედის კონგრუენტობის ტესტები
სამკუთხედების კონგრუენტობის დამტკიცება
სამკუთხედს აქვს 6 გაზომვა: 3 გვერდი & 3 კუთხე. მაგრამ სამკუთხედების კონგრუენტობის დამტკიცებისთვის სულ 6 არ გჭირდება. არის მალსახელი ხერხები:
SSS (Side-Side-Side): თუ ერთი სამკუთხედის სამივე გვერდი ტოლია მეორე სამკუთხედის სამივე გვერდის, სამკუთხედები კონგრუენტია.
SAS (Side-Angle-Side): თუ ორი გვერდი და ჩართული კუთხე (კუთხე იმ ორ გვერდს შორის) ტოლია, სამკუთხედები კონგრუენტია.
ASA (Angle-Side-Angle): თუ ორი კუთხე და ჩართული გვერდი (გვერდი იმ ორ კუთხეს შორის) ტოლია, სამკუთხედები კონგრუენტია.
AAS (Angle-Angle-Side): თუ ორი კუთხე და არ ჩართული გვერდი ტოლია, სამკუთხედები კონგრუენტია.
ყურადღება მიაქციე, რომ AAA არ არის კონგრუენტობის ტესტი: ორ სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს ყველა ერთნაირი კუთხე, მაგრამ ეს სხვადსხვა ზომისი იყოს. ეს მათ მსგავსს ხდის, კონგრუენტს კი არა.
კონგრუენტობის შემოწმება
გამოიყენე რაც უკვე იცი
ორ სამკუთხედს აქვს გვერდები 5, 12, & 13 ერთეული. მეორე სამკუთხედს ასევე აქვს გვერდები 5, 12, & 13 ერთეული.
ოთხი გარდაქმნა
ფორმების გადატანა მათი დაზიანების გარეშე
გარდაქმნა არის წესი, რომელიც ფიგურის ყველა წერტილს ძვლის ან იცვლის. არის ოთხი ფუნდამენტური გარდაქმნა:
გადაწევა (slide): გადავიდე ყველა წერტილი იმავე დაშორებით იმავე მიმართულებით. ფორმა არ ბრუნავს ან არ დაბრუნდება.
ბრუნვა (turn): შემოატრიალე ფიგურა ერთი ფიქსირებული წერტილის გარშემო (ბრუნვის ცენტრი) მოცემული კუთხით.
ასახვა (flip): გადაბრუნე ფიგურა ხაზის ზღვარზე (ასახვის ხაზი), შექმნი სარკის ფото.
გაფართოება (scale): გადიდე ან შეამცირე ფიგურა ერთი ცენტრალური წერტილიდან მასშტაბის კოეფიციენტით.
პირველი სამი: გადაწევა, ბრუნვა, და ასახვა: ეწოდება მკრთალი მოძრაობა რადგან ისინი ფორმაც და ზომაც უცვლელი ტოვებენ. შედეგი ყოველთვის ორიგინალის კონგრუენტია.
გაფართოება იცვლის ზომას მაგრამ ფორმა დარჩება. შედეგი ორიგინალის მსგავსია.
ასახვის პრაქტიკა
ღერძზე ასახვა
როცა უსახავ წერტილს y-ღერძზე, x-კოორდინატი ცვლის ნიშანს (დადებითი ხდება უარყოფითი ან პირიქით) ხოლო y-კოორდინატი დარჩება იგივე.
რა არის მტკიცებულება?
გეომეტრიის ლოგიკა
გეომეტრიული მტკიცებულება არის ლოგიკური არგუმენტი, რომელიც აჩვენებს რატომ უნდა იყოს განცხადება ჭეშმარიტი. არ არის საკმარისი რომ ვთქვა რომ რაიმე სწორი გამოიყურება: უნდა აჩვენო რატომ არის იგი სწორი.
ყველა მტკიცებულება მიყვება მოწყობას:
მოცემული (რით იწყებ) → განცხადება (ერთი მოთხოვნა) → მიზეზი (რატომ ეს მოთხოვნა ჭეშმარიტია) → ... → დასკვნა
თითოეული მიზეზი უნდა იყოს სამიდან ერთი:
- განმარტება (მაგ., 'მართი კუთხე არის 90 გრადუსი')
- აქსიომა (ძირითადი სიმართე, რომელსაც მტკიცებულებაა გარეშე ვიღებთ, მაგ., 'ნებისმიერი ორ წერტილზე გამავალი ზუსტად ერთი ხაზი არსებობს')
- თეორემა (რაიმე უკვე დამტკიცებული, მაგ., 'ვერტიკალური კუთხეები ტოლია')
მტკიცებულებები არიან გეომეტრიის ხერხი. ეს არის როგორ აშენებდნენ მათემატიკოსები ცოდნას 2000 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში, დაწყებული ევკლიდის Elements წიგნით.
პარალელური ხაზები და კუთხეები
კლასიკური გეომეტრიის ფაქტი
როცა ორი პარალელური ხაზი იკვეთება ტრანსვერსალით (ხაზი რომელიც ორივეს კვეთს), რამდენიმე კუთხის ურთიერთობა იქმნება.
ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი: ალტერნატიული ინტერიორი კუთხეები: კუთხეები ტრანსვერსალის მოპირდაპირე მხარეებზე, პარალელური ხაზების შორის.
SOH-CAH-TOA
მიმართებები მართკუთხა სამკუთხედებში
ტრიგონომეტრია იწყება მარტივი დაკვირვებით: მართკუთხა სამკუთხედში, თუ იცი ერთი მწვავე კუთხე, ყველაზე მიმართებები ფიქსირებულია: რაც დიდიც ან რაც პატარაც სამკუთხედი არ იყოს.
ნებისმიერი მწვავე კუთხე θ ერთ მართკუთხა სამკუთხედში:
სინუსი (sin θ) = მოპირდაპირე / ჰიპოტენუზა
კოსინუსი (cos θ) = მიმდებარე / ჰიპოტენუზა
ტანგენსი (tan θ) = მოპირდაპირე / მიმდებარე
მნემონიკა SOH-CAH-TOA გეხმარება გახსოვო:
- Sine = Opposite / Hypotenuse
- Cosine = Adjacent / Hypotenuse
- Tangent = Opposite / Adjacent
ეს მიმართებები იგივეა ყველა მსგავსი მართკუთხა სამკუთხედისთვის იმავე კუთხით. პატარა 30-60-90 სამკუთხედი & ბიჭი 30-60-90 სამკუთხედი ერთნაირი სინუსი, კოსინუსი, & ტანგენსი მნიშვნელობები აქვთ.
სინუსის გამოყენება
ამოხსენი ტრიგონომეტრიის გამოყენებით
მართკუთხა სამკუთხედს აქვს 30° კუთხე. გვერდი მოპირდაპირე 30° კუთხეს არის 5 სმ.
მოცემული გაქვს რომ sin 30° = 0.5.
სადაც გეომეტრია ცხოვრობს
გეომეტრია ყველგან არის
კონცეფციები რომელთა შევისწავლე: კონგრუენტობა, მსგავსება, გარდაქმნები, მტკიცებულებები, და ტრიგონომეტრია: არ არიან მხოლოდ კლასის იდეები. ისინი რეალური სამყაროში ყოველდღე გამოიყენება:
არქიტექტურა: შენობები სამკუთხედებს იყენებენ სტრუქტურული სიძლიერისთვის. სამკუთხედი ერთადერთი პოლიგონია რომელიც არ შეიძლება დეფორმირდეს გვერდის სიგრძის გაკითხვის გარეშე. ამიტომ სახურავის ტრუსები, ხიდები, და კრანები სამკუთხედებით სავსეა.
ნავიგაცია: ტრიანგულაცია იყენებს ორი ცნობილი წერტილიდან კუთხეებს მესამე წერტილის პოზიციის საპოვნელად. ასე განსაზღვრავენ GPS სატელიტები თქვენი მდებარეობას.
კომპიუტერული გრაფიკა: ყველა 3D მოდელი ვიდეო თამაშში ან ფილმში შედგება ათასი პატარა სამკუთხედიდან (polygon meshes). გარდაქმნები (ცვლა, ბრუნვა, მასშტაბი) ამ მოდელებს გადაიტანენ ეკრანზე.
სპორტი: ბილიარდის ბურთის ასახვის კუთხე ხაზზე უდრის მის მიახლოვების კუთხეს. კვარტერბექები თქვამის აღა კუთხეები გამოითვალა. სკეიტბორდერები ფერდობის კუთხეებს იყენებენ.
ინჟინერია: მექანიკური ნაწილები უნდა მოთავსდეს ტოლერანციებში რომელიც ზომავს ტიხეული ინჩის ეკვივალენტებში. გეომეტრიული მტკიცებულებები ხელმისაწვდომი უნდა იყოს რომ დიზაინი იმუშაოს სანამ რამე აშენდება.
სიმის პრობლემა
ყველაფრის გაერთიანება
სიმი დხმის უკან იდგა. სიმი ეკრანი 12 ფუტი უკან კედელი. სიმის ძირი იყო 5 ფუტი დაშორებული კედლისგან.
კედელი, მიწა, & სიმი ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედს.