Bốn phép biến đổi

Di chuyển hình dạng mà không phá vỡ chúng

Một phép biến đổi là một quy tắc di chuyển hoặc thay đổi mọi điểm của một hình. Có bốn phép biến đổi cơ bản:

Phép tịnh tiến (trượt): Di chuyển mọi điểm cùng khoảng cách theo cùng hướng. Hình không xoay hoặc lật.

Phép quay (xoay): Quay hình quanh một điểm cố định (tâm quay) theo một góc nhất định.

Phép phản chiếu (lật): Lật hình qua một đường (đường phản chiếu), tạo một ảnh gương.

Phép giãn (co giãn): Phóng to hoặc thu nhỏ hình từ một điểm tâm theo một hệ số co giãn.

Ba cái đầu tiên: phép tịnh tiến, phép quay & phép phản chiếu: được gọi là chuyển động cứng vì chúng bảo toàn cả hình dạng lẫn kích thước. Kết quả luôn đồng dạng với bản gốc.

Phép giãn thay đổi kích thước nhưng bảo toàn hình dạng. Kết quả tương tự với bản gốc.

Thực hành phản chiếu

Phản chiếu qua một trục

Khi bạn phản chiếu một điểm qua trục y, tọa độ x thay đổi dấu (dương trở thành âm, hoặc ngược lại) trong khi tọa độ y vẫn giữ nguyên.

Chứng minh là gì?

Logic của hình học

Một chứng minh hình học là một lập luận logic cho thấy tại sao một phát biểu phải đúng. Nó không đủ để nói rằng một cái gì đó có vẻ đúng: bạn phải chỉ ra tại sao nó đúng.

Mọi chứng minh đều theo một chuỗi:

Cho (những gì bạn bắt đầu với) → Phát biểu (một yêu cầu) → Lý do (tại sao yêu cầu đó đúng) → ... → Kết luận

Mỗi lý do phải là một trong ba điều:

- Một định nghĩa (ví dụ: 'một góc vuông là 90 độ')

- Một tiên đề (một chân lý cơ bản mà chúng ta chấp nhận mà không cần chứng minh, ví dụ: 'qua hai điểm bất kỳ có chính xác một đường thẳng')

- Một định lý (một cái gì đó đã được chứng minh, ví dụ: 'các góc đối đỉnh bằng nhau')

Chứng minh là xương sống của hình học. Đó là cách các nhà toán học đã xây dựng kiến thức trong hơn 2.000 năm, bắt đầu với Elements của Euclid.

Đường thẳng song song và góc

Một sự thật hình học cổ điển

Khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường ngang (một đường cắt qua cả hai), một số mối quan hệ góc được tạo ra.

Một trong những điều quan trọng nhất: các góc nội tuyến thay thế: các góc ở hai bên đối diện của đường ngang, giữa các đường thẳng song song.

SOH-CAH-TOA

Các tỉ số bên trong tam giác vuông

Lượng giác bắt đầu với một quan sát đơn giản: trong một tam giác vuông, nếu bạn biết một trong các góc nhọn, các tỉ số của các cạnh là cố định: bất kể tam giác lớn hay nhỏ.

Đối với bất kỳ góc nhọn θ nào trong một tam giác vuông:

Sine (sin θ) = Đối diện / Cạnh huyền

Cosine (cos θ) = Kề / Cạnh huyền

Tangent (tan θ) = Đối diện / Kề

Cách ghi nhớ SOH-CAH-TOA giúp bạn nhớ:

- Sine = Opposite / Hypotenuse (Sine = Đối diện / Cạnh huyền)

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse (Cosine = Kề / Cạnh huyền)

- Tangent = Opposite / Adjacent (Tangent = Đối diện / Kề)

Các tỉ số này giống nhau cho TẤT CẢ các tam giác vuông tương tự có cùng các góc. Một tam giác 30-60-90 nhỏ & một tam giác 30-60-90 lớn có cùng giá trị sin, cosine, & tangent.

Sử dụng Sine

Giải với lượng giác

Một tam giác vuông có một góc 30°. Cạnh đối diện với góc 30° là 5 cm.

Bạn được cho rằng sin 30° = 0,5.

Hình học sống ở đâu

Hình học ở khắp mọi nơi

Những khái niệm bạn đã học: sự đồng dạng, sự tương tự, phép biến đổi, chứng minh & lượng giác: không chỉ là những ý tưởng lớp học. Chúng là những công cụ được sử dụng hàng ngày trong thế giới thực:

Kiến trúc: Các tòa nhà sử dụng tam giác để tăng cường kết cấu. Một tam giác là đa giác duy nhất không thể bị biến dạng mà không thay đổi độ dài cạnh. Đó là lý do tại sao các giàn mái, cầu & cần cẩu đầy các tam giác.

Điều hướng: Tam giác đo lường sử dụng các góc từ hai điểm đã biết để tìm vị trí của điểm thứ ba. Đây là cách vệ tinh GPS xác định vị trí của bạn.

Đồ họa máy tính: Mỗi mô hình 3D trong một trò chơi video hoặc bộ phim được tạo từ hàng nghìn tam giác nhỏ (lưới đa giác). Phép biến đổi (tịnh tiến, quay, co giãn) di chuyển những mô hình đó xung quanh màn hình.

Thể thao: Góc của một quả bóng billiard phản chiếu khỏi một tấm đệm bằng góc tiếp cận của nó. Các cầu thủ tứ phân vệ tính toán góc ném. Những người trượt ván sử dụng các góc dốc.

Kỹ thuật: Các bộ phận cơ khí phải vừa với các dung sai được đo bằng phần nghìn inch. Các chứng minh hình học đảm bảo rằng các thiết kế sẽ hoạt động trước khi bất cứ điều gì được xây dựng.

Bài toán thang

Kết hợp tất cả lại với nhau

Một cái thang tựa vào một bức tường. Cái thang chạm vào bức tường cao 12 feet. Chân thang cách tường 5 feet.

Bức tường, mặt đất, & cái thang tạo thành một tam giác vuông.