四つの変形

形状を破壊しない移動

変形(transformation)は、数字のすべての点を移動または変更するルールです。基本的な変形は4つあります:

移動 (スライド): 同じ距離に同じ方向にすべての点を移動します。形状は回転または反転しません。

回転 (ターン): 回転の中心（回転中心）周り、与えられた角度で形状を回転させます。

反転 (フリップ): 反転線（反転線）を通じて形状を反転させ、鏡像を作ります。

拡大 (スケール): 中心点からスケールファクタで形状を拡大または縮小します。

最初の3つ：移動、回転、反転は、形状とサイズを保つため、剛性運動と呼ばれます。元のものと常に合同の結果になります。

拡大はサイズが変わるが、形状は保たれます。結果は元のものと似てます。

反転練習

軸上の反転

y軸 上で点を反転させる場合、x座標の符号が変わる（正が負、負が正） mentre y座標は同じに残ります。

証明とは何ですか?

幾何学の論理

幾何学的証明は、ステートメントが真である理由を論理的に示すものです。それを真であると言うだけでは十分でなく、なぜ真であるかを示す必要があります。

すべての証明は、以下の順番で連鎖しています。

与えられたもの（始めに）→ ステートメント（主張）→ 理由（その主張が真である理由）→ ... → 結論

それぞれの理由は、次の3つのうちの何らかに基づく必要があります。

- 定義（例：直角は90度です）

- 公理（証明することなく受け入れられる基本的な真実、例：どの二点間にも一本の直線が存在します）

- 定理 (すでに証明されたもの、例えば '直線の垂直角は等しい')

証明は幾何学の骨組みです。数学者は、エウクレイデスの『要理』で始めて2,000年以上もの間、知識を築いてきました。

平行線と角

クラシック幾何学の事実

2本の平行線が横切線（2本の平行線を横切る線）に切られた場合、様々な角の関係が生成されます。

最も重要なのは、対角内角：横切線の対面に位置し、平行線の間にある角です。

SOH-CAH-TOA

右三角形の内在する比

三角法は、右三角形に関する単純な観察から始まります：直角のうち1つの角が知られている場合、側の比は固定されます：どれだけ大きく小さいtriangleでも。

どの直角角 θ に対しても、右三角形では：

正弦 (sin θ) = 對辺 / 右辺

余弦 (cos θ) = 隣辺 / 右辺

正接 (tan θ) = 對辺 / 隣辺

メモリィック SOH-CAH-TOA であなたは次のように覚えておくことができます：

- Sine = Opposite / Hypotenuse

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse

- Tangent = Opposite / Adjacent

これらの比は、同じ角の右三角形を持つすべての似た三角形で同じです。小さな30-60-90三角形と大きな30-60-90三角形は、同じ正弦、余弦、および正接値を持ちます。

正弦の使用

三角法で解決する

直角三角形は30°の角を持っています。30°の角に対する対辺は5cmです。

正弦30° = 0.5 とされています。

幾何学の現場で

幾何学はどこに存在するか

学習した概念：一致、類似性、変形、証明、そして三角関数：これらは、教室でのアイデアだけでなく、現実世界で毎日使用されるツールです。

建築: 建物は三角形を構造的な強さに使用します。三角形は、辺の長さが変わらない限り、変形できない唯一の多角形です。そのため、屋根の支柱、橋、クレーンには三角形が満たされています。

航法: 二つの知っている地点から角度を測り、第三の位置を特定する三角法は、GPS衛星があなたの位置を決定する方法です。

コンピュータグラフィックス: 動画ゲームや映画の3Dモデルは、数千個の小さな三角形（多角形メッシュ）で構成されています。変形（移動、回転、拡大）は、そのモデルをスクリーン上で移動させます。

スポーツ: ビリヤードのボールの反射角は、接触角と等しいです。クォーターバックは投球の角度を計算し、スケーターはランプの角度を使用します。

工学: 機械部品は、千分の1インチ単位で測定される許容範囲内に収まる必要があります。幾何学の証明は、設計が実際に建造される前に機能することを保証します。

梯子問題

それらをすべて組み合わせる

梯子は壁に寄り添っています。梯子は壁に12フィートで触れています。梯子の底は5フィートの位置にあります。

壁、地面、および梯子は直角三角形を形成します。