सर्वांगसम बनाम समान
दो तरीके आकार कैसे संबंधित हो सकते हैं
ज्यामिति में, दो आकृतियां दो महत्वपूर्ण तरीकों से संबंधित हो सकती हैं:
सर्वांगसम (≅) का अर्थ है कि आकृतियों का समान आकार और समान आकार दोनों हैं। प्रत्येक भुजा & हर कोण बिल्कुल मेल खाता है। यदि आप एक को काटकर दूसरे के ऊपर रखें, तो वे बिल्कुल संरेखित हो जाएंगे।
समान (~) का अर्थ है कि आकृतियों का समान आकार है लेकिन अलग-अलग आकार हैं। सभी कोण बराबर हैं, लेकिन भुजाएँ समानुपाती हैं: एक आकृति दूसरे का बड़ा या छोटा संस्करण है।
इसे इस तरह सोचें: 100% पर फोटोकॉपी एक सर्वांगसम प्रति बनाती है। 150% पर फोटोकॉपी एक समान प्रति बनाती है: समान आकार, बड़ा आकार।
त्रिभुज सर्वांगसमता परीक्षण
साबित करना कि त्रिभुज सर्वांगसम हैं
एक त्रिभुज के 6 माप हैं: 3 भुजाएँ & 3 कोण। लेकिन दो त्रिभुजों को सर्वांगसम साबित करने के लिए आपको सभी 6 की जरूरत नहीं है। कुछ शॉर्टकट हैं:
SSS (भुजा-भुजा-भुजा): यदि एक त्रिभुज की सभी तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की सभी तीन भुजाओं के बराबर हैं, तो त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
SAS (भुजा-कोण-भुजा): यदि दो भुजाएँ और अंतर्निहित कोण (उन दोनों भुजाओं के बीच का कोण) बराबर हैं, तो त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
ASA (कोण-भुजा-कोण): यदि दो कोण और अंतर्निहित भुजा (उन दोनों कोणों के बीच की भुजा) बराबर हैं, तो त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
AAS (कोण-कोण-भुजा): यदि दो कोण और एक गैर-अंतर्निहित भुजा बराबर हैं, तो त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
ध्यान दें कि AAA एक सर्वांगसमता परीक्षण नहीं है: दो त्रिभुजों के सभी कोण समान हो सकते हैं लेकिन आकार अलग हो सकते हैं। यह उन्हें समान बनाता है, सर्वांगसम नहीं।
सर्वांगसमता जांच
जो आप जानते हैं उसे लागू करें
दो त्रिभुजों की भुजाएँ 5, 12, & 13 इकाई मापती हैं। दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ भी 5, 12, & 13 इकाई मापती हैं।
चार परिवर्तन
बिना तोड़े आकार को स्थानांतरित करना
एक परिवर्तन एक नियम है जो एक आकृति के प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित या बदलता है। चार मौलिक परिवर्तन हैं:
अनुवाद (स्लाइड): प्रत्येक बिंदु को एक ही दूरी में एक ही दिशा में स्थानांतरित करें। आकार घूमता या पलटता नहीं है।
घूर्णन (मुड़ना): आकृति को एक निश्चित बिंदु (घूर्णन का केंद्र) के चारों ओर दिए गए कोण से घुमाएँ।
प्रतिबिंब (पलटना): आकृति को एक रेखा (प्रतिबिंब की रेखा) पर पलटें, एक दर्पण छवि बनाते हुए।
विस्तार (स्केल): एक केंद्र बिंदु से एक स्केल फ़ैक्टर द्वारा आकृति को बड़ा या सिकोड़ें।
पहले तीन: अनुवाद, घूर्णन, और प्रतिबिंब: को कठोर गति कहा जाता है क्योंकि वे आकार और आकार दोनों को संरक्षित करते हैं। परिणाम हमेशा मूल के सर्वांगसम होता है।
विस्तार आकार को बदलता है लेकिन आकृति को संरक्षित करता है। परिणाम मूल के समान है।
प्रतिबिंब अभ्यास
एक अक्ष पर प्रतिबिंब
जब आप एक बिंदु को y-अक्ष पर प्रतिबिंबित करते हैं, तो x-निर्देशांक परिवर्तन करता है (सकारात्मक नकारात्मक हो जाता है, या इसके विपरीत) जबकि y-निर्देशांक समान रहता है।
प्रमाण क्या है?
ज्यामिति का तर्क
एक ज्यामितीय प्रमाण एक तार्किक तर्क है जो दिखाता है कि एक कथन सत्य क्यों होना चाहिए। यह कहना पर्याप्त नहीं है कि कुछ सत्य दिखता है: आपको दिखाना होगा कि यह क्यों सत्य है।
हर प्रमाण एक श्रृंखला का अनुसरण करता है:
दिया हुआ (जहाँ आप शुरू करते हैं) → कथन (एक दावा) → कारण (वह दावा सत्य क्यों है) → ... → निष्कर्ष
प्रत्येक कारण तीन चीजों में से एक होना चाहिए:
- एक परिभाषा (उदाहरण के लिए, 'एक समकोण 90 डिग्री है')
- एक अभिधारणा (एक बुनियादी सत्य जो हम प्रमाण के बिना स्वीकार करते हैं, उदाहरण के लिए, 'किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से बिल्कुल एक रेखा है')
- एक प्रमेय (कुछ पहले से साबित, उदाहरण के लिए, 'ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं')
प्रमाण ज्यामिति की रीढ़ हैं। यह है कि गणितज्ञों ने 2,000 वर्षों से अधिक समय तक ज्ञान कैसे बनाया है, यूक्लिड के Elements से शुरू करके।
समानांतर रेखाएँ और कोण
एक शास्त्रीय ज्यामिति तथ्य
जब दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक (एक रेखा जो दोनों को काटती है) द्वारा काटा जाता है, तो कई कोण संबंध बनते हैं।
सबसे महत्वपूर्ण में से एक: वैकल्पिक आंतरिक कोण: तिर्यक के विपरीत पक्षों पर कोण, समानांतर रेखाओं के बीच।
SOH-CAH-TOA
समकोण त्रिभुज में अनुपात
त्रिकोणमिति एक सरल अवलोकन से शुरू होती है: एक समकोण त्रिभुज में, यदि आप तीव्र कोणों में से एक को जानते हैं, तो भुजाओं के अनुपात निश्चित हैं: चाहे त्रिभुज कितना भी बड़ा या छोटा हो।
एक समकोण त्रिभुज में किसी भी तीव्र कोण θ के लिए:
साइन (sin θ) = विपरीत / कर्ण
कोसाइन (cos θ) = निकटवर्ती / कर्ण
स्पर्शरेखा (tan θ) = विपरीत / निकटवर्ती
स्मरणीय SOH-CAH-TOA आपको याद रखने में मदद करता है:
- Sाइन = Oविपरीत / Hकर्ण
- Cोसाइन = Aनिकटवर्ती / Hकर्ण
- Tस्पर्शरेखा = Oविपरीत / Aनिकटवर्ती
ये अनुपात समान कोणों वाले सभी समान समकोण त्रिभुजों के लिए समान हैं। एक छोटा 30-60-90 त्रिभुज & एक विशाल 30-60-90 त्रिभुज समान साइन, कोसाइन, & स्पर्शरेखा मूल्य हैं।
साइन का उपयोग
त्रिकोणमिति के साथ हल करें
एक समकोण त्रिभुज का एक कोण 30° है। 30° कोण के विपरीत भुजा 5 सेमी है।
आपको दिया गया है कि sin 30° = 0.5।
ज्यामिति कहाँ रहती है
ज्यामिति हर जगह है
जो अवधारणाएँ आपने सीखी हैं: सर्वांगसमता, समानता, परिवर्तन, प्रमाण, & त्रिकोणमिति: केवल कक्षा की अवधारणाएँ नहीं हैं। वे वास्तविक दुनिया में हर दिन उपयोग किए जाने वाले उपकरण हैं:
वास्तुकला: इमारतें संरचनात्मक शक्ति के लिए त्रिभुज का उपयोग करती हैं। त्रिभुज एकमात्र बहुभुज है जिसे भुजाओं की लंबाई बदले बिना विकृत नहीं किया जा सकता। यही कारण है कि छत की ट्रस, पुल, & क्रेन त्रिभुजों से भरे हुए हैं।
नेविगेशन: त्रिकोणीकरण दो ज्ञात बिंदुओं के कोणों का उपयोग करके तीसरे की स्थिति खोजता है। यह है कि जीपीएस उपग्रह आपकी स्थिति कैसे निर्धारित करते हैं।
कंप्यूटर ग्राफिक्स: वीडियो गेम या फिल्म में हर 3D मॉडल हजारों छोटे त्रिभुजों (बहुभुज जाल) से बना है। परिवर्तन (अनुवाद, घूर्णन, स्केलिंग) उन मॉडलों को स्क्रीन के चारों ओर स्थानांतरित करते हैं।
खेल: एक बिलियर्ड बॉल के कुशन से प्रतिबिंब का कोण इसके दृष्टिकोण के कोण के बराबर होता है। क्वार्टरबैक थ्रो कोण की गणना करते हैं। स्केटबोर्डर रैंप कोणों का उपयोग करते हैं।
इंजीनियरिंग: यांत्रिक भागों को एक इंच के हजारवें हिस्से में मापे गए सहनशील सीमा के भीतर फिट होना चाहिए। ज्यामितीय प्रमाण सुनिश्चित करते हैं कि कुछ भी बनाने से पहले डिजाइन काम करेंगे।
सीढ़ी समस्या
सब कुछ एक साथ रखना
एक सीढ़ी दीवार के खिलाफ झुकती है। सीढ़ी दीवार को 12 फीट ऊपर छूती है। सीढ़ी का आधार दीवार से 5 फीट दूर है।
दीवार, जमीन, & सीढ़ी एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।