Eşlik vs. Benzerlik
Şekillerin İlişkili Olabilecek İki Yolu
Geometride, iki şekil iki önemli şekilde ilişkili olabilir:
Eşlik (≅) şekillerin aynı şekle VE aynı boyuta sahip olması anlamına gelir. Her kenar ve her açı tam olarak eşleşir. Birini kesip diğerinin üzerine yerleştirirseniz, mükemmel şekilde hizalanırlar.
Benzerlik (~) şekillerin aynı şekle ancak farklı boyutlara sahip olması anlamına gelir. Tüm açıları eşittir, ancak kenarlar orantılıdır: bir şekil diğerinin ölçeklendirilmiş veya küçültülmüş bir versiyonudur.
Böyle düşünün: %100 fotokopi eşlik eden bir kopya üretir. %150 fotokopi benzer bir kopya üretir: aynı şekil, daha büyük boyut.
Üçgen Eşlik Testleri
Üçgenlerin Eşlik Olduğunu İspatlama
Bir üçgenin 6 ölçümü vardır: 3 kenar ve 3 açı. Ancak iki üçgenin eşlik olduğunu kanıtlamak için 6'nın tamamına ihtiyacınız yok. Kısayollar vardır:
KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Bir üçgenin tüm üç kenarı başka bir üçgenin tüm üç kenarına eşitse, üçgenler eşleşir.
KAK (Kenar-Açı-Kenar): İki kenar ve dahil açı (bu iki kenar arasındaki açı) eşitse, üçgenler eşleşir.
AKA (Açı-Kenar-Açı): İki açı ve dahil kenar (bu iki açı arasındaki kenar) eşitse, üçgenler eşleşir.
AAK (Açı-Açı-Kenar): İki açı ve dahil olmayan bir kenar eşitse, üçgenler eşleşir.
AAA'nın bir eşlik testi olmadığını unutmayın: iki üçgen aynı açılara sahip olabilir ancak farklı boyutlara sahip olabilir. Bu onları eşlik değil benzer yapar.
Eşlik Kontrolü
Bilgini Uygula
İki üçgenin kenarları 5, 12 ve 13 birim ölçüsündedir. İkinci üçgenin kenarları da 5, 12 ve 13 birimdir.
Dört Dönüşüm
Şekilleri Kırmadan Hareket Ettirmek
Bir dönüşüm, bir şeklin her noktasını hareket ettiren veya değiştiren bir kuraldır. Dört temel dönüşüm vardır:
Öteleme (kaydırma): Her noktayı aynı mesafe aynı yönde hareket ettirin. Şekil dönmez veya çevrilmez.
Döndürme (dönüş): Şekli sabit bir nokta (dönüş merkezi) etrafında belirli bir açıyla döndürün.
Yansıma (çevirme): Şekli bir çizgi üzerine (yansıma çizgisi) çevirin ve bir ayna görüntüsü oluşturun.
Genişletme (ölçekleme): Şekli bir merkez noktasından ölçek faktörüyle büyütün veya küçültün.
İlk üçü: öteleme, döndürme ve yansıma: şekil ve boyutu korudukları için katı hareket olarak adlandırılır. Sonuç her zaman orijinale eşlidir.
Genişletme boyutu değiştirir ancak şekli korur. Sonuç orijinale benzerdir.
Yansıma Uygulaması
Bir Eksen Üzerine Yansıtma
Bir noktayı y-ekseni üzerine yansıttığınızda, x-koordinatı işaret değiştirir (pozitif negatif olur veya tersi) y-koordinatı aynı kalır.
İspat Nedir?
Geometrinin Mantığı
Bir geometrik ispat, bir ifadenin neden doğru olması gerektiğini gösteren mantıksal bir argümandır. Bir şeyin doğru göründüğünü söylemek yeterli değildir: neden doğru olduğunu göstermelisiniz.
Her ispat bir zincir takip eder:
Verilen (başladığınız şey) → İfade (bir iddia) → Sebep (bu iddianın neden doğru olduğu) → ... → Sonuç
Her sebep üç şeyden biri olmalıdır:
- Bir tanım (örneğin, 'dik açı 90 derecedir')
- Bir postulat (ispat olmadan kabul ettiğimiz temel bir doğru, örneğin, 'herhangi iki nokta aracılığıyla tam olarak bir çizgi vardır')
- Bir teorem (zaten kanıtlanmış bir şey, örneğin, 'ters açılar eşittir')
İspatlar geometrinin omurgasıdır. Matematikçilerin 2000 yıldan fazla bir süredir Öklid'in Elemanları'yla başlayarak bilgi inşa etmesinin yolu budur.
Paralel Çizgiler ve Açılar
Klasik Bir Geometri Gerçeği
İki paralel çizgi bir enine (her ikisini de kesen bir çizgi) tarafından kesildiğinde, birkaç açı ilişkisi oluşur.
En önemli olanlardan biri: alternatif iç açılar: eninin karşı taraflarında, paralel çizgiler arasındaki açılar.
SOH-CAH-TOA
Dik Üçgenler İçindeki Oranlar
Trigonometri basit bir gözlemle başlar: bir dik üçgende, dar açılardan birini bilirseniz, kenarların oranları sabittir: üçgen ne kadar büyük veya küçük olursa olsun.
Dik üçgende herhangi bir dar açı θ için:
Sinüs (sin θ) = Karşı / Hipotenüs
Kosinüs (cos θ) = Komşu / Hipotenüs
Tanjant (tan θ) = Karşı / Komşu
Anımsatıcı SOH-CAH-TOA hatırlamanıza yardımcı olur:
- Sinüs = Karşı / Hipotenüs
- Kosinüs = Komşu / Hipotenüs
- Tanjant = Karşı / Komşu
Bu oranlar, aynı açılara sahip TÜM benzer dik üçgenler için aynıdır. Küçük bir 30-60-90 üçgeni ve muazzam bir 30-60-90 üçgeni aynı sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerine sahiptir.
Sinüs Kullanma
Trigonometri ile Çöz
Bir dik üçgende 30° açı vardır. 30° açısının karşısındaki kenar 5 cm'dir.
Size verilir ki sin 30° = 0.5.
Geometrinin Yaşadığı Yer
Geometri Her Yerdedir
Öğrendiğiniz kavramlar: eşlik, benzerlik, dönüşümler, ispatlar ve trigonometri: sadece sınıf fikri değildir. Bunlar gerçek dünyada her gün kullanılan araçlardır:
Mimarlık: Binalar yapısal kuvvet için üçgenler kullanır. Üçgen, kenar uzunluklarını değiştirmeden şekli değiştirilemeyen tek çokgendir. Bu nedenle çatı kafesleri, köprüler ve vinçler üçgenlerle doludur.
Navigasyon: Triangülasyon, üçüncü noktanın konumunu bulmak için iki bilinen noktadaki açıları kullanır. GPS uyduları konumunuzu bu şekilde belirler.
Bilgisayar Grafikleri: Bir video oyununda veya filmde her 3D modeli binlerce küçük üçgenden yapılır (çokgen ağlar). Dönüşümler (öteleme, döndürme, ölçekleme) bu modelleri ekran etrafında hareket ettirir.
Spor: Bir bilye topunun minderde yansımasının açısı, yaklaşma açısına eşittir. Quarterbackler atış açılarını hesaplarlar. Kaykayçılar rampa açılarını kullanırlar.
Mühendislik: Mekanik parçalar bininci inç cinsinden ölçülen toleranslar içinde sığmalıdır. Geometrik ispatlar, tasarımların bir şey inşa edilmeden önce çalışacağını garanti eder.
Merdiven Problemi
Tümünü Bir Araya Getirmek
Bir merdiven bir duvara yaslanır. Merdiven duvarı 12 fit yukarıda dokunur. Merdivenin tabanı duvardan 5 fit uzaktadır.
Duvar, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur.