四个变换

在不破坏形状的情况下移动形状

变换 是一个移动或改变图形每个点的规则。有四个基本变换：

平移（滑动）：在同一方向上移动每个点相同的距离。形状不旋转或翻转。

旋转（转动）：围绕固定点（旋转中心）以给定角度转动图形。

反射（翻转）：将图形翻转到一条线上（反射线），创建镜像。

膨胀（缩放）：从中心点以缩放因子放大或缩小图形。

前三个：平移、旋转和反射：被称为刚性运动，因为它们保持形状和大小。结果总是与原始全等。

膨胀改变大小但保持形状。结果与原始相似。

反射练习

沿轴反射

当你将一个点沿 y 轴 反射时，x 坐标改变符号（正变负，反之亦然），而 y 坐标保持不变。

什么是证明？

几何的逻辑

几何证明 是一个逻辑论证，显示为什么一个陈述必须是真的。仅仅说某事看起来真是不够的：你必须显示 为什么 它是真的。

每个证明都遵循一个链：

已知（你开始的） → 陈述（一个声称） → 理由（为什么这个声称是真的） → ... → 结论

每个理由必须是以下三种之一：

- 一个 定义（例如，'直角是 90 度'）

- 一个 公设（一个我们不加证明就接受的基本真理，例如，'通过任何两个点，恰好有一条线'）

- 一个 定理（已证明的东西，例如，'对顶角相等'）

证明是几何的支柱。这是数学家在 2000 多年来建立知识的方式，始于欧几里得的 《几何原本》。

平行线和角

一个经典的几何事实

当两条平行线被一条 横截线（穿过两者的一条线）切割时，会产生几个角度关系。

最重要的之一是 交替内角：横截线的相对两侧、平行线之间的角。

SOH-CAH-TOA

直角三角形内的比率

三角学开始于一个简单的观察：在直角三角形中，如果你知道一个锐角，边的 比率 是固定的：无论三角形有多大或多小。

对于直角三角形中的任何锐角 θ：

正弦 (sin θ) = 对边 / 斜边

余弦 (cos θ) = 邻边 / 斜边

正切 (tan θ) = 对边 / 邻边

助记符 SOH-CAH-TOA 帮助你记住：

- Sine (正弦) = Opposite (对边) / Hypotenuse (斜边)

- Cosine (余弦) = Adjacent (邻边) / Hypotenuse (斜边)

- Tangent (正切) = Opposite (对边) / Adjacent (邻边)

这些比率对于具有相同角的所有相似直角三角形都是相同的。一个微小的 30-60-90 三角形和一个巨大的 30-60-90 三角形具有相同的正弦、余弦和正切值。

使用正弦

用三角学求解

一个直角三角形有一个 30° 的角。30° 角 对面 的边是 5 厘米。

你被告知 sin 30° = 0.5。

几何生活的地方

几何无处不在

你学到的概念：全等、相似、变换、证明和三角学：不仅仅是课堂思想。它们是在现实世界中每天使用的工具：

建筑：建筑物使用三角形来增加结构强度。三角形是唯一不能在不改变边长的情况下变形的多边形。这就是为什么屋顶桁架、桥梁和起重机充满三角形。

导航：三角测量使用来自两个已知点的角来找到第三个点的位置。这是 GPS 卫星确定你的位置的方式。

计算机图形：视频游戏或电影中的每个 3D 模型都由数千个微小三角形（多边形网格）组成。变换（平移、旋转、缩放）在屏幕上移动这些模型。

体育：台球从垫子反弹的角等于其接近角。四分卫计算投掷角。滑冰者使用坡道角。

工程：机械零件必须符合以千分之一英寸为单位的公差。几何证明确保设计在建造前能正常工作。

梯子问题

把所有东西放在一起

一个梯子靠在墙上。梯子从墙上 12 英尺高 的地方接触。梯子的底部离墙 5 英尺。

墙、地面和梯子形成一个直角三角形。