합동 vs. 닮음
도형이 연결될 수 있는 두 가지 방식
기하학에서 두 도형은 두 가지 중요한 방식으로 연결될 수 있습니다:
합동(≅)은 도형이 같은 모양과 같은 크기를 가진다는 의미입니다. 모든 변과 모든 각도가 정확히 일치합니다. 하나를 오려내어 다른 하나 위에 놓으면 완벽하게 겹칠 것입니다.
닮음(~)은 도형이 같은 모양이지만 다른 크기를 가진다는 의미입니다. 모든 각도는 같지만 변은 비례합니다: 한 도형은 다른 도형의 확대 또는 축소 버전입니다.
이렇게 생각해 보세요: 100% 복사는 합동인 사본을 만듭니다. 150% 복사는 닮은 사본을 만듭니다: 같은 모양, 더 큰 크기입니다.
삼각형 합동 판정법
삼각형이 합동임을 증명
삼각형은 6가지 측정값을 가집니다: 3개의 변과 3개의 각도입니다. 하지만 두 삼각형이 합동임을 증명하기 위해 6가지를 모두 알아야 하는 것은 아닙니다. 단축 방법이 있습니다:
SSS (변-변-변): 한 삼각형의 세 변이 모두 다른 삼각형의 세 변과 같으면 삼각형은 합동입니다.
SAS (변-각-변): 두 변과 포함된 각도(그 두 변 사이의 각도)가 같으면 삼각형은 합동입니다.
ASA (각-변-각): 두 각도와 포함된 변(그 두 각도 사이의 변)이 같으면 삼각형은 합동입니다.
AAS (각-각-변): 두 각도와 포함되지 않은 변이 같으면 삼각형은 합동입니다.
AAA는 합동 판정법이 아님을 알아두세요: 두 삼각형이 모든 각도가 같지만 크기가 다를 수 있습니다. 그것은 합동이 아닌 닮음입니다.
합동 확인
알고 있는 것을 적용
두 삼각형의 변의 길이가 5, 12, 13 단위입니다. 두 번째 삼각형도 5, 12, 13 단위의 변을 가집니다.
네 가지 변환
도형을 부수지 않으면서 이동시키기
변환은 도형의 모든 점을 이동하거나 변경하는 규칙입니다. 네 가지 기본 변환이 있습니다:
평행이동(슬라이드): 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동합니다. 도형은 회전하거나 뒤집어지지 않습니다.
회전(턴): 도형을 고정된 점(회전의 중심) 주위로 주어진 각도만큼 회전합니다.
반사(플립): 도형을 선(반사선) 위로 뒤집어서 거울상을 만듭니다.
확대/축소(스케일): 중심점에서 배율 인수로 도형을 확대하거나 축소합니다.
처음 세 가지: 평행이동, 회전, 반사는 모양과 크기를 모두 유지하기 때문에 강체 변환이라고 불립니다. 결과는 항상 원본과 합동입니다.
확대/축소는 크기를 변경하지만 모양을 유지합니다. 결과는 원본과 닮음입니다.
반사 연습
축에 대한 반사
점을 y축에 대해 반사할 때, x좌표의 부호가 바뀝니다(양수가 음수가 되거나 그 반대) 반면 y좌표는 같게 유지됩니다.
증명이란 무엇인가?
기하학의 논리
기하학적 증명은 명제가 참임을 보여주는 논리적 논증입니다. 어떤 것이 참인 것처럼 보인다고 말하는 것으로 충분하지 않습니다: 왜 참인지 보여주어야 합니다.
모든 증명은 체인을 따릅니다:
주어진 조건(시작할 때) → 명제(주장) → 이유(그 주장이 참인 이유) → ... → 결론
각 이유는 세 가지 중 하나여야 합니다:
- 정의 (예: '직각은 90도입니다')
- 공리 (증명 없이 받아들이는 기본 진리, 예: '두 점을 지나는 정확히 하나의 직선이 있습니다')
- 정리 (이미 증명된 것, 예: '대각은 같습니다')
증명은 기하학의 척추입니다. 이는 수학자들이 유클리드의 원론부터 시작하여 2,000년 이상 지식을 구축한 방식입니다.
평행선과 각도
고전적 기하학 사실
두 평행선이 횡단선(둘을 모두 교차하는 직선)에 의해 잘릴 때, 여러 각도 관계가 생성됩니다.
가장 중요한 것 중 하나: 엇각: 횡단선의 반대쪽, 평행선 사이의 각도입니다.
SOH-CAH-TOA
직각삼각형 내부의 비율
삼각법은 간단한 관찰로 시작됩니다: 직각삼각형에서 예각 중 하나를 알면, 변의 비율은 고정됩니다: 삼각형의 크기가 아무리 크거나 작아도 상관없습니다.
직각삼각형의 예각 θ에 대해:
사인(sin θ) = 대변 / 빗변
코사인(cos θ) = 인접변 / 빗변
탄젠트(tan θ) = 대변 / 인접변
기억하기 쉬운 SOH-CAH-TOA가 도움이 됩니다:
- Sine(사인) = Opposite(대변) / Hypotenuse(빗변)
- Cosine(코사인) = Adjacent(인접변) / Hypotenuse(빗변)
- Tangent(탄젠트) = Opposite(대변) / Adjacent(인접변)
이 비율은 같은 각도를 가진 모든 닮은 직각삼각형에서 같습니다. 작은 30-60-90 삼각형과 거대한 30-60-90 삼각형은 같은 사인, 코사인, 탄젠트 값을 가집니다.
사인 이용
삼각법으로 풀이
직각삼각형이 30° 각도를 가집니다. 30° 각도의 대변은 5 cm입니다.
sin 30° = 0.5가 주어졌습니다.
기하학이 사는 곳
기하학은 어디에나 있습니다
배운 개념들: 합동, 닮음, 변환, 증명, 삼각법: 단순한 교실 아이디어가 아닙니다. 이들은 실제 세상에서 매일 사용되는 도구입니다:
건축: 건물은 구조적 강도를 위해 삼각형을 사용합니다. 삼각형은 변의 길이를 변경하지 않고 변형될 수 없는 유일한 다각형입니다. 이것이 지붕 트러스, 다리, 크레인이 삼각형으로 가득 찬 이유입니다.
항법: 삼각측량은 두 개의 알려진 점의 각도를 사용하여 세 번째의 위치를 찾습니다. 이것이 GPS 위성이 당신의 위치를 결정하는 방식입니다.
컴퓨터 그래픽: 비디오 게임이나 영화의 모든 3D 모델은 수천 개의 작은 삼각형(폴리곤 메시)으로 만들어집니다. 변환(평행이동, 회전, 스케일링)은 화면 주위의 모델을 이동합니다.
스포츠: 당구공이 쿠션에서 반사되는 각도는 접근 각도와 같습니다. 쿼터백은 던지는 각도를 계산합니다. 스케이트보더는 경사면 각도를 사용합니다.
엔지니어링: 기계 부품은 1000분의 1인치로 측정되는 공차 범위 내에 맞아야 합니다. 기하학적 증명은 무언가를 구축하기 전에 설계가 작동할 것임을 보장합니다.
사다리 문제
모두 함께 정리
사다리가 벽에 기대어 있습니다. 사다리는 벽의 12피트 위에 닿아 있습니다. 사다리의 밑부분은 벽에서 5피트 떨어져 있습니다.
벽, 지면, 사다리는 직각삼각형을 형성합니다.