Willkommen
Algebra ist Detektivarbeit.
Jemand hat eine Zahl versteckt. Er hat dir Hinweise gegeben. Deine Aufgabe ist es, herauszufinden, welche Zahl es ist.
Die versteckte Zahl bekommt einen Namen: x. Das ist alles, was eine Variable ist — ein Name für etwas, das du noch nicht kennst.
Am Ende dieser Lektion wirst du x in immer kniffligeren Verstecken finden können. Und wenn du das kannst, hast du den Generalschlüssel zu aller höheren Mathematik.
Aufwärmung
Ein schnelles Rätsel
Vergiss den Matheunterricht für einen Moment. Denk nur über folgendes nach:
Wenn 3 Apfelsäcke zusammen 12 Pfund wiegen, wie viel wiegt ein Sack?
Die Balance
Die Balance-Metapher
Eine Gleichung ist eine Balwaage. Das Gleichheitszeichen ist der Drehpunkt. Was auf der linken Seite ist, wiegt gleich viel wie das, was auf der rechten Seite ist.
Die goldene Regel: Was immer du auf einer Seite machst, musst du auf der anderen Seite machen. Wenn du 5 zur linken Seite addierst, addierst du 5 zur rechten Seite. Wenn du die linke Seite durch 3 teilst, teilst du die rechte Seite durch 3.
Beispiel 1: x + 5 = 12
Die x hat 5 addiert. Um x zu isolieren, führen wir die inverse Operation durch — subtrahiere 5 von beiden Seiten.
x + 5 - 5 = 12 - 5
x = 7
Beispiel 2: 3x = 21
Die x wird mit 3 multipliziert. Um x zu isolieren, führen wir die inverse Operation durch — teile beide Seiten durch 3.
3x ÷ 3 = 21 ÷ 3
x = 7
Addition ↔ Subtraktion. Multiplikation ↔ Division. Diese sind inverse Paare.
Die Reihenfolge ist wichtig
Zwei Schritte zur Freiheit
Jetzt ist x hinter zwei Operationen statt einer versteckt.
Beispiel: 2x + 3 = 11
Stell es dir vor wie das Auspacken eines Pakets. Die x wurde zuerst mit 2 multipliziert, dann wurde 3 addiert. Um das rückgängig zu machen, gehen wir in umgekehrter Reihenfolge vor:
Schritt 1: Mache die Addition rückgängig. Subtrahiere 3 von beiden Seiten.
2x + 3 - 3 = 11 - 3
2x = 8
Schritt 2: Mache die Multiplikation rückgängig. Teile beide Seiten durch 2.
2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
x = 4
Die Regel: Mache zuerst die Addition oder Subtraktion rückgängig, dann die Multiplikation oder Division. Du schälst Schichten in umgekehrter Reihenfolge ab.
Du kannst deine Antwort immer überprüfen, indem du sie einsetzt: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11. ✓
Variablen sammeln
Was wenn x auf beiden Seiten ist?
Bisher ist x nur auf einer Seite der Gleichung aufgetaucht. Aber was passiert, wenn x auf beiden Seiten auftaucht?
Beispiel: 5x + 2 = 3x + 10
Die x ist auf der linken und der rechten Seite. Wir müssen alle x-Terme auf einer Seite sammeln.
Schritt 1: Subtrahiere 3x von beiden Seiten, um die x-Terme zusammenzubringen.
5x - 3x + 2 = 3x - 3x + 10
2x + 2 = 10
Schritt 2: Jetzt ist es eine zweistufige Gleichung. Subtrahiere 2 von beiden Seiten.
2x = 8
Schritt 3: Teile beide Seiten durch 2.
x = 4
Überprüfung: 5(4) + 2 = 22. Und 3(4) + 10 = 22. Beide Seiten gleichen 22. ✓
Der neue Zug ist einfach: subtrahiere den kleineren x-Term von beiden Seiten, um alle x auf einer Seite zu haben. Dann löse wie zuvor.
Englisch in Algebra übersetzen
Von Wörtern zu Gleichungen
Der schwierigste Teil der Algebra ist nicht das Lösen von Gleichungen — es ist das Aufstellen. Echte Probleme kommen in Worten, nicht in Symbolen.
Der Übersetzungsleitfaden:
- eine Zahl → x
- verdoppelt oder zweimal → 2x
- plus, mehr als, erhöht um → +
- minus, weniger als, verringert um → -
- ist, gleich, ergibt → =
Beispiel
"Eine Zahl verdoppelt plus drei gleich fünfzehn."
Übersetzung: 2x + 3 = 15
Löse: 2x = 12, also x = 6.
Der Trick ist, langsam zu lesen, Stück für Stück zu übersetzen und die Gleichung aufzuschreiben, bevor du sie löst.
Gleichungen sind Linien
Jede lineare Gleichung ist eine Linie
Du hast Gleichungen gelöst — herausgefunden, wo x auf einem Zahlenstrahl landet. Aber es gibt ein größeres Bild.
Wenn du eine Gleichung mit zwei Variablen hast, wie y = 2x + 3, ist jede Lösung ein Punkt auf einem Graphen. Und alle diese Punkte bilden eine gerade Linie.
Die Steigungsabschnittsform: y = mx + b
- m ist die Steigung — wie steil die Linie ist. Sie sagt dir, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 erhöht wird.
- b ist der y-Achsenabschnitt — wo die Linie die y-Achse kreuzt. Es ist der Wert von y, wenn x = 0.
Zurück zum Tarifplan
Dein Tarifplan war: Kosten = 0.05 × (Anzahl der Nachrichten) + 20
Oder in Steigungsabschnittsform: y = 0.05x + 20
- Die Steigung ist 0.05 — jede zusätzliche Nachricht fügt 5 Cent zu deiner Rechnung hinzu.
- Der y-Achsenabschnitt ist 20 — auch mit null Nachrichten zahlst du $20.
Wenn du das graphen würdest, würdest du eine Linie sehen, die bei $20 auf der y-Achse beginnt und um 5 Cent für jede Nachricht sanft ansteigt.