平衡

平衡隐喻

方程是一个天平。等号是支点。左边的东西和右边的东西一样重。

黄金法则：你对一边做什么，就必须对另一边做什么。 如果你在左边加5，就在右边加5。如果你把左边除以3，就把右边除以3。

例1：x + 5 = 12

x加了5。要隔离x，我们做逆运算 — 两边都减5。

x + 5 - 5 = 12 - 5

x = 7

例2：3x = 21

x乘以3。要隔离x，我们做逆运算 — 两边都除以3。

3x ÷ 3 = 21 ÷ 3

x = 7

加法 ↔ 减法。乘法 ↔ 除法。 这些是逆对。

顺序很重要

两步走向自由

现在x被两个操作锁定，而不是一个。

例：2x + 3 = 11

把它想象成打开一个包裹。x首先被乘以2，然后加3。要撤销这个，我们反向顺序进行：

第1步： 撤销加法。两边都减3。

2x + 3 - 3 = 11 - 3

2x = 8

第2步： 撤销乘法。两边都除以2。

2x ÷ 2 = 8 ÷ 2

x = 4

规则：先撤销加法或减法，然后撤销乘法或除法。 你在反向剥除层次。

你总是可以通过把答案代入来检查：2(4) + 3 = 8 + 3 = 11。✓

收集变量

如果 x 在两边呢？

到目前为止，x只出现在方程的一边。但如果x出现在两边会怎样？

例：5x + 2 = 3x + 10

x在左边和右边都出现了。我们需要把所有x项收集在一边。

第1步： 两边都减3x，把x项移到一起。

5x - 3x + 2 = 3x - 3x + 10

2x + 2 = 10

第2步： 现在是一个两步方程。两边都减2。

2x = 8

第3步： 两边都除以2。

x = 4

检查： 5(4) + 2 = 22。而 3(4) + 10 = 22。两边都等于22。✓

新的步骤很简单：两边都减较小的x项，把所有x放在一边。 然后如前所述解决。

将英文翻译成代数

从文字到方程

代数最难的部分不是解方程 — 是建立方程。现实问题以文字形式出现，不是符号。

翻译指南：

- 一个数字 → x

- 加倍 或 两倍 → 2x

- 加上, 比...多, 增加 → +

- 减去, 比...少, 减少 → -

- 是, 等于, 导致 → =

例

"一个数字加倍再加3等于15。"

翻译：2x + 3 = 15

解：2x = 12，所以 x = 6。

诀窍是慢慢读，逐块翻译，在尝试解决前写出方程。

方程是直线

每个线性方程都是一条直线

你一直在解方程 — 找出x在数轴上落在哪里。但有一个更大的图景。

当你有一个有两个变量的方程时，比如 y = 2x + 3，每个解都是图上的一个点。而所有这些点都形成一条直线。

斜截式：y = mx + b

- m 是斜率 — 直线有多陡。它告诉你当x增加1时，y变化多少。

- b 是 y 截距 — 直线与y轴的交点。它是当x = 0时y的值。

回到手机套餐

你的手机套餐是：成本 = 0.05 × (短信数量) + 20

或用斜截式：y = 0.05x + 20

- 斜率 是 0.05 — 每条额外的短信将你的账单增加5美分。

- y 截距 是 20 — 即使没有短信，你也要支付20美元。

如果你绘制这个，你会看到一条从y轴上的20美元开始的直线，每条短信上升5美分。