Баланс

Метафора баланса

Уравнение — это весы. Знак равенства — это точка опоры. То, что находится слева, весит столько же, сколько то, что находится справа.

Золотое правило: что бы вы ни делали с одной стороной, вы должны делать то же самое с другой. Если вы добавляете 5 к левой стороне, вы добавляете 5 к правой. Если вы делите левую на 3, вы делите правую на 3.

Пример 1: x + 5 = 12

К x добавляется 5. Чтобы изолировать x, мы выполняем обратную операцию — вычитаем 5 из обеих сторон.

x + 5 - 5 = 12 - 5

x = 7

Пример 2: 3x = 21

x умножается на 3. Чтобы изолировать x, мы выполняем обратную операцию — делим обе стороны на 3.

3x ÷ 3 = 21 ÷ 3

x = 7

Сложение ↔ Вычитание. Умножение ↔ Деление. Это обратные пары.

Порядок имеет значение

Два шага к свободе

Теперь x заперт за двумя операциями вместо одной.

Пример: 2x + 3 = 11

Думайте об этом как о раскрытии пакета. x был сначала умножен на 2, затем к нему добавлено 3. Чтобы это отменить, мы идём в обратном порядке:

Шаг 1: Отмените сложение. Вычтите 3 из обеих сторон.

2x + 3 - 3 = 11 - 3

2x = 8

Шаг 2: Отмените умножение. Разделите обе стороны на 2.

2x ÷ 2 = 8 ÷ 2

x = 4

Правило: сначала отмените сложение или вычитание, затем отмените умножение или деление. Вы снимаете слои в обратном порядке.

Вы всегда можете проверить свой ответ, подставив его обратно: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11. ✓

Сбор переменных

Что если x находится с обеих сторон?

До сих пор x появлялась только на одной стороне уравнения. Но что происходит, когда x появляется с обеих сторон?

Пример: 5x + 2 = 3x + 10

x находится и на левой, и на правой стороне. Нам нужно собрать все члены с x на одной стороне.

Шаг 1: Вычтите 3x из обеих сторон, чтобы собрать члены с x вместе.

5x - 3x + 2 = 3x - 3x + 10

2x + 2 = 10

Шаг 2: Теперь это уравнение с двумя шагами. Вычтите 2 из обеих сторон.

2x = 8

Шаг 3: Разделите обе стороны на 2.

x = 4

Проверка: 5(4) + 2 = 22. И 3(4) + 10 = 22. Обе стороны равны 22. ✓

Новый ход простой: вычтите меньший член с x из обеих сторон, чтобы собрать весь x на одной стороне. Затем решайте как раньше.

Перевод с английского на алгебру

От слов к уравнениям

Самая сложная часть алгебры — это не решение уравнений, а их составление. Реальные задачи приходят в словах, а не в символах.

Руководство по переводу:

- число → x

- удвоенное или дважды → 2x

- плюс, больше, увеличенное на → +

- минус, меньше, уменьшенное на → -

- есть, равно, даёт в результате → =

Пример

"Число удвоенное плюс три равно пятнадцать."

Перевод: 2x + 3 = 15

Решение: 2x = 12, значит x = 6.

Хитрость в том, чтобы читать медленно, переводить по частям и писать уравнение перед тем как его решать.

Уравнения — это линии

Каждое линейное уравнение — это линия

Вы решали уравнения — находили, где x находится на числовой прямой. Но есть более широкая картина.

Когда у вас есть уравнение с двумя переменными, например y = 2x + 3, каждое решение — это точка на графике. И все эти точки образуют прямую линию.

Форма пересечения наклона: y = mx + b

- m — это наклон — как круто идёт линия. Это говорит вам, как много y меняется, когда x увеличивается на 1.

- b — это пересечение с осью y — где линия пересекает ось y. Это значение y, когда x = 0.

Обратно к мобильному тарифу

Ваш тариф был: стоимость = 0.05 × (количество сообщений) + 20

Или в форме пересечения наклона: y = 0.05x + 20

- Наклон равен 0.05 — каждое дополнительное сообщение добавляет 5 центов к вашему счёту.

- Пересечение с осью y равно 20 — даже без сообщений вы платите $20.

Если бы вы нарисовали это, вы бы увидели линию, начинающуюся с $20 на оси y, поднимающуюся на 5 центов за каждое сообщение.