天平

天平比喻

方程式就像一台天平。等號是支點。左邊的東西和右邊的東西一樣重。

黃金法則：你對一邊做什麼，就必須對另一邊做什麼。 如果你在左邊加 5，你也要在右邊加 5。如果你把左邊除以 3，你也要把右邊除以 3。

例 1：x + 5 = 12

x 被加了 5。要隔離 x，我們做反運算 — 從兩邊都減去 5。

x + 5 - 5 = 12 - 5

x = 7

例 2：3x = 21

x 被乘以 3。要隔離 x，我們做反運算 — 將兩邊都除以 3。

3x ÷ 3 = 21 ÷ 3

x = 7

加法 ↔ 減法。乘法 ↔ 除法。 這些是反運算對。

順序很重要

通向自由的兩步

現在 x 被鎖在兩個運算後面，而不是一個。

例：2x + 3 = 11

把它想像成打開一個包裝。x 首先被乘以 2，然後加上 3。要撤銷這個，我們按相反順序進行：

第 1 步： 撤銷加法。從兩邊都減去 3。

2x + 3 - 3 = 11 - 3

2x = 8

第 2 步： 撤銷乘法。將兩邊都除以 2。

2x ÷ 2 = 8 ÷ 2

x = 4

規則：先撤銷加法或減法，然後撤銷乘法或除法。 你在按相反的順序剝去層次。

你總是可以通過代入來檢查你的答案：2(4) + 3 = 8 + 3 = 11。✓

收集變數

如果 x 在兩邊呢？

到目前為止，x 只出現在方程式的一邊。但是當 x 出現在兩邊時會發生什麼？

例：5x + 2 = 3x + 10

x 在左邊和右邊都有。我們需要將所有 x 項都放在一邊。

第 1 步： 從兩邊都減去 3x，將 x 項移到一起。

5x - 3x + 2 = 3x - 3x + 10

2x + 2 = 10

第 2 步： 現在這是一個雙步方程式。從兩邊都減去 2。

2x = 8

第 3 步： 將兩邊都除以 2。

x = 4

檢查： 5(4) + 2 = 22。而 3(4) + 10 = 22。兩邊都等於 22。✓

新步驟很簡單：從兩邊都減去較小的 x 項，將所有 x 都放在一邊。 然後像之前一樣求解。

將英文翻譯成代數

從文字到方程式

代數最難的部分不是求解方程式 — 而是設置它們。真正的問題用文字表達，不是符號。

翻譯指南：

- 一個數字 → x

- 加倍 或 兩倍 → 2x

- 加 、超過 、增加了 → +

- 減 、少於 、減少了 → -

- 是 、等於 、結果是 → =

例

"一個數字加倍後再加三等於十五。"

翻譯：2x + 3 = 15

求解：2x = 12，所以 x = 6。

訣竅是慢慢閱讀，一段段翻譯，並在嘗試求解之前先寫出方程式。

方程式是直線

每個線性方程式都是一條直線

你一直在求解方程式 — 找出 x 在數線上的位置。但有一個更大的圖景。

當你有一個有兩個變數的方程式，比如 y = 2x + 3，每個解都是圖上的一個點。所有這些點都形成一條直線。

斜截式：y = mx + b

- m 是斜率 — 直線有多陡。它告訴你當 x 增加 1 時 y 改變多少。

- b 是y 截距 — 直線與 y 軸相交的地方。它是當 x = 0 時 y 的值。

回到手機計畫

你的手機計畫是：費用 = 0.05 × (文字信息數) + 20

或用斜截式：y = 0.05x + 20

- 斜率 是 0.05 — 每條額外的文字信息為你的賬單增加 5 美分。

- y 截距 是 20 — 即使零文字信息，你也要支付 $20。

如果你繪製這個圖形，你會看到一條從 y 軸上的 $20 開始的直線，每條文字信息上升 5 美分。